密码学考试要点

1.取模问题

1.1 负数取模

1.2 有限域倒数取模

在这里需要对-1和2^-1进行取模运算

利用模的定义

1.a=nq+r其中模为23，故：

r=a-nq=-1-(-1*23)=22

1.2.倒数取模

需要利用到费马小定理
费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。

倒数取模这里要引用小费马定理
在此我们可以参考下
分数取模

a^p-1 mod p = 1 mod p,这里对这个公式做点改动---> a^p-1=ap-2 *a,把a移到上述等式的右边有 a^p-2 mod p = a^-1 mod p,那么这里,a^-1 mod p 就是我们要求的,这个值的结果恒等于 a^p-2 mod p

所以 2^-1mod23= 2^23-2mod23=12

但是这样计算比较复杂。因为是在有限域，故倒数取模可以视作是求该数在模p下的乘法逆元

那么2的乘法逆元是什么呢？

2* x = n * p+1

一个一个去试，n=1的时候

x=12,正好。

2.流密码破译中的运算

容易证明：
若 A^T=A
则 (A^-1)T = (A^T)-1 = A^-1
所以 A^-1 是对称矩阵.

故计算前后需要检验矩阵的对称性

另外，计算逆矩阵的时候是模2加，即直接增广矩阵异或进行行初等变换，得到逆矩阵即可；用普通的加减法若得到负数，将符号变正即可

3.hash相关

主要考点为生日悖论与生日攻击，设计到概率论与集合论，有点意思，以下只给出防范生日攻击的相关方法：