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求LCA的方法有很多,在这里就只介绍一种离线算法,Tarjan算法! 可以保证在O(n+q)的时间复杂度内算出所有答案(n是节点个数 q是询问个数)
为什么叫离线算法呢? 因为这种算法的思想是先把所有的询问存起来,在遍历的树的同时遍历这颗子树包含的询问:
本算法结合了深度优先搜索(DFS)和并查集的思想,下面说一下大体流程:
对于新搜索的到的结点,首先要创建由这个节点构成的集合,再对当前节点的每一颗子树进行搜索,每搜索完一颗子树要保证子树内的LCA询问都已解决。其它的LCA必定在
这个子树之外,这时把子树所形成的的集合与当前节点的集合合并,并把当前节点设为这个集合的祖先 。之后继续搜索下一颗子树,直到当前节点的所有子树搜索完。这时把当前节点也设为已经访问过的结点
同时处理有关当前节点的询问,如果有一个当前节点到节点v的询问,且被检查过,则由于进行的是深度优先搜索,当前节点与v的最近公共祖先一定还没有被检查过,而这个最近公共祖先的包含v的子树
一定已经搜索过了,那么这个最近公共祖先一定是v集合所在集合的祖先。
如图:
根据实现算法可以看出,只有当某一棵子树全部遍历处理完成后,才将该子树的根节点标记为黑色(初始化是白色),假设程序按上面的树形结构进行遍历,首先从节点1开始,然后递归处理根为2的子树,当子树2处理完毕后,节点2, 5, 6均为黑色;接着要回溯处理3子树,首先被染黑的是节点7(因为节点7作为叶子不用深搜,直接处理),接着节点7就会查看所有询问(7, x)的节点对,假如存在(7, 5),因为节点5已经被染黑,所以就可以断定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5).ancestor,即节点1(因为2子树处理完毕后,子树2和节点1进行了union,find(5)返回了合并后的树的根1,此时树根的ancestor的值就是1)。有人会问如果没有(7, 5),而是有(5, 7)询问对怎么处理呢? 我们可以在程序初始化的时候做个技巧,将询问对(a, b)和(b, a)全部存储,这样就能保证完整性。
代码分为六块:
1、输入树:只需要存x->y有一条边 并不需要存双向边,因为是从根节点开始走的 (也就是入度为0的点) 同时找到根节点
2、输入询问:注意如果查询u v的最近公共祖先 v u也存进去 (上面已经说明了原因)
3、初始化并查集
4、初始化所有点的祖先
5、初始化所有点都没有被检查过
6、Tarjan算法:其实就是深搜 再把搜完的子树和当前节点合并为一个集合 祖先是当前节点。 当搜索完所有的子树之后 标记当前节点为访问过 并查询所有与当前节点有关的询问。。
参考代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<vector> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int maxn=10000;//最大顶点数 int n,root;//实际顶点数 树根节点 int indeg[maxn];//顶点入度 用来判断树根 vector<int> tree[maxn];//树的邻接表(不一定是二叉树) void inputTree() { scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) tree[i].clear(),indeg[i]=0;//初始化树 顶点编号从0开始 for(int i=1;i<n;i++)//输入n-1条边 { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); tree[x].push_back(y);//x->y有一条边 indeg[y]++;//加入邻接表 y入度加一 } for(int i=0;i<n;i++)//寻找树根 入度为0的点 { if(indeg[i]==0) { root=i; break; } } } vector<int> query[maxn];//所有查询内容 void inputQuires()//输入查询 { for(int i=0;i<n;i++)//清空上次查询的内容 query[i].clear(); int m; scanf("%d",&m); while(m--) { int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);//查询u和v的lca query[u].push_back(v); query[v].push_back(u); } } int father[maxn],rnk[maxn];//节点的父亲 秩 void makeSet()//初始化并查集 { for(int i=0;i<n;i++) { father[i]=i; rnk[i]=0; } } int findSet(int x)//查找祖先 { return father[x]==x?x:father[x]=findSet(father[x]); } void unionSet(int x,int y)//合并 { x=findSet(x); y=findSet(y); if(x==y) return; if(rnk[x]>rnk[y]) father[y]=x; else { father[x]=y; if(rnk[x]==rnk[y]) rnk[y]++; } } int ancestor[maxn];//已经访问节点集合的祖先 bool vs[maxn];//访问标记 void Tarjan(int x)//Tarjan算法求解lca { for(int i=0;i<tree[x].size();i++) { Tarjan(tree[x][i]);//访问子树 unionSet(x,tree[x][i]);//将子树节点与根节点x的集合合并 ancestor[findSet(x)]=x;//合并后的集合的祖先为x } vs[x]=1;//标记为访问过 for(int i=0;i<query[x].size();i++)//与根节点有关的查询 { if(vs[query[x][i]]) //如果查询的另一个节点已经访问过 则输出结果 printf("%d和%d的最近公共祖先为:%d ",x,query[x][i],ancestor[findSet(query[x][i])]); } } int main() { inputTree();//输入树 inputQuires();//输入查询 makeSet(); for(int i=0;i<n;i++) ancestor[i]=i; memset(vs,0,sizeof(vs)); Tarjan(root); return 0; }