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首先看看整数快速幂的用处：
如果我们要求x^19,一般思想是for循环来做，这样的话要循环19次，如果次方数太大的话，显然是很要时间的，如果用矩阵快速幂的方法的话，可以接着看：
19的二进制表示=10011; x^19=x^16*x^2*x^1，看看16，2，1是怎么来的，其实就是19的二进制上面的1对应的值，所以依靠这个我们可以超级快的求出来x^19次方
下面看代码的解释：
#include<iostream> #include<string.h> #include<map> #include<cstdio> #include<cstring> #include<stdio.h> #include<cmath> #include<ctype.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<set> #include<queue> typedef long long ll; using namespace std; const ll mod=1e9+7; const int maxn=1e4+10; const int maxk=5e3+10; const int maxx=1e4+10; const ll maxe=1000+10; #define INF 0x3f3f3f3f3f3f #define Lson l,mid,rt<<1 #define Rson mid+1,r,rt<<1|1 int Quickpow(int x,int n) { int ans=1,res=x; while(n)//这里看不太懂的话自己模拟一下 { if(n&1) { ans*=res; } res*=res; n>>=1; } return ans; } int main() { int n,x; cin>>x>>n;//求x^n次方 cout<<Quickpow(x,n)<<endl; return 0; }
下面看看矩阵快速幂：
讲解一道题目来理解：
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1575
Tr A
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 7332 Accepted Submission(s): 5384
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。
#include<iostream> #include<string.h> #include<map> #include<cstdio> #include<cstring> #include<stdio.h> #include<cmath> #include<ctype.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<set> #include<queue> typedef long long ll; using namespace std; const ll mod=9973; const int maxn=1e4+10; const int maxk=5e3+10; const int maxx=1e4+10; const ll maxe=1000+10; #define INF 0x3f3f3f3f3f3f #define Lson l,mid,rt<<1 #define Rson mid+1,r,rt<<1|1 int n; ll k; struct matrix { int a[15][15]; }ans,res; void init() { memset(ans.a,0,sizeof(ans.a)); for(int i=0;i<n;i++) { ans.a[i][i]=1;//相当于整数快速幂里面的初值1 ，这里是一个单位矩阵 for(int j=0;j<n;j++) { cin>>res.a[i][j];//初值 } } } matrix multiply(matrix x,matrix y) { matrix temp; memset(temp.a,0,sizeof(temp.a)); for(int i=0;i<n;i++) { for(int j=0;j<n;j++) { for(int l=0;l<n;l++) { temp.a[i][j]+=x.a[i][l]*y.a[l][j]; if(temp.a[i][j]>mod) temp.a[i][j]%=mod; } } } return temp; } void Quickpow() { while(k) { if(k&1) { ans=multiply(ans,res);//这里跟整数快速幂几乎一样 } res=multiply(res,res); k>>=1; } } int main() { int t; cin>>t; while(t--) { ll sum=0; cin>>n>>k; init(); Quickpow(); for(int i=0;i<n;i++) sum+=ans.a[i][i]; sum%=mod; cout<<sum<<endl; } return 0; }
下面看一道应用题：
题目链接：http://poj.org/problem?id=3070
| Time Limit: 1000MS | Memory Limit: 65536K | |
| Total Submissions: 19383 | Accepted: 13413 |
Description
In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn − 1 + Fn − 2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
An alternative formula for the Fibonacci sequence is
.
Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of Fn.
Input
The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.
Output
For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fn are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).
Sample Input
0 9 999999999 1000000000 -1
Sample Output
0 34 626 6875
Hint
As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by
.
Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:
.
Source
,简写成T * a[n-1]=a[n]，T矩阵就是那个2*2的常数矩阵，而
这里就是个矩阵乘法等式左边:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);
这里还是说一下构建矩阵递推的大致套路,一般a[n]与a[n-1]都是按照原始递推式来构建的，当然可以先猜一个a[n],主要是利用矩阵乘法凑出矩阵T,第一行一般就是递推式，后面的行就是不需要的项就让与其的相乘系数为0。矩阵T就叫做转移矩阵(一定要是常数矩阵),它能把a[n-1]转移到Aa[n];然后这就是个等比数列，直接写出通项:
注意构造的时候要构造为一个方阵，就是在原来构造的基础上补上0
看代码：
#include<iostream> #include<string.h> #include<map> #include<cstdio> #include<cstring> #include<stdio.h> #include<cmath> #include<ctype.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<set> #include<queue> typedef long long ll; using namespace std; const ll mod=10000; const int maxn=1e9+10; const int maxk=5e3+10; const int maxx=1e4+10; const ll maxe=1000+10; #define INF 0x3f3f3f3f3f3f #define Lson l,mid,rt<<1 #define Rson mid+1,r,rt<<1|1 int n; struct matrix { ll a[3][3]; }ans,res; void init() { res.a[0][0]=1; res.a[0][1]=1; res.a[1][0]=1; res.a[1][1]=0; ans.a[0][0]=1; ans.a[0][1]=0; ans.a[1][0]=0; ans.a[1][1]=1; } matrix multiply(matrix x,matrix y) { matrix temp; memset(temp.a,0,sizeof(temp.a)); for(int i=0;i<2;i++) { for(int j=0;j<2;j++) { for(int k=0;k<2;k++) { temp.a[i][j]=(temp.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod; } } } return temp; } void Quickpow() { while(n) { if(n&1) { ans=multiply(ans,res); } res=multiply(res,res); n>>=1; } } int main() { while(cin>>n) { if(n==-1) break; if(n==0) cout<<0<<endl; else if(n==1) cout<<1<<endl; else { n--; init(); Quickpow(); cout<<ans.a[0][0]<<endl; } } return 0; }
给一些简单的递推式
1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）
2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）
