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  • BZOJ 1901: Zju2112 Dynamic Rankings[带修改的主席树]【学习笔记】

    1901: Zju2112 Dynamic Rankings

    Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
    Submit: 7143  Solved: 2968
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    Description

    给定一个含有n个数的序列a[1],a[2],a[3]……a[n],程序必须回答这样的询问:对于给定的i,j,k,在a[i],a[i+1],a[i+2]……a[j]中第k小的数是多少(1≤k≤j-i+1),并且,你可以改变一些a[i]的值,改变后,程序还能针对改变后的a继续回答上面的问题。你需要编一个这样的程序,从输入文件中读入序列a,然后读入一系列的指令,包括询问指令和修改指令。对于每一个询问指令,你必须输出正确的回答。 第一行有两个正整数n(1≤n≤10000),m(1≤m≤10000)。分别表示序列的长度和指令的个数。第二行有n个数,表示a[1],a[2]……a[n],这些数都小于10^9。接下来的m行描述每条指令,每行的格式是下面两种格式中的一种。 Q i j k 或者 C i t Q i j k (i,j,k是数字,1≤i≤j≤n, 1≤k≤j-i+1)表示询问指令,询问a[i],a[i+1]……a[j]中第k小的数。C i t (1≤i≤n,0≤t≤10^9)表示把a[i]改变成为t。

    对于每一次询问,你都需要输出他的答案,每一个输出占单独的一行。

    Sample Input

    5 3
    3 2 1 4 7
    Q 1 4 3
    C 2 6
    Q 2 5 3

    Sample Output

    3
    6

    HINT

    20%的数据中,m,n≤100; 40%的数据中,m,n≤1000; 100%的数据中,m,n≤10000。


    [2016-12-12]

    普通主席树认为是前缀套线段树,那么这就是树状数组套线段树

    前缀区间由原来的一个前缀一个线段树变成BIT组成的几棵线段树一起

    每个线段树维护的还是离散排序后的数列

    每个节点也相当于一个主席树,我觉得更像是线段树,但是修改的时候用到了主席树的方法,就是在原来的基础上修改(只不过这些原来的都不保存)

    add操作要修改一些主席树,在这些主席树中减去/增加某个值,因为区间变动了

    sum操作要加一些主席树的区间和

    外层的BIT是为了处理询问区间,内层是为了找k值

    kth时候要把用到的主席树提出了,每个都往左往右

     [2016-12-18]

    普通主席树的话,要是我们要修改一个数,就要把后面的主席树全部修改了,所以用树状数组套在外层

    这时候一段前缀和要把几个线段树(上的值)加和,移动的时候也要同时移动,所以需要记录这些用到的节点的线段树走到哪了

    我见到了两种写法,一种用cur[i]表示位置i的线段树走到哪了,一种用两个数组提出来

    cur[i]的写法貌似是错误的,因为两个前缀和可能用到了树状数组同一个节点,这样这个节点会走两次
    然而数据太弱....并没有WA

    空间复杂度O(nlognlogn),因为一次加入需要logn个树状数组的节点

    //
    //  main.cpp
    //  zoj2112
    //
    //  Created by Candy on 2016/12/11.
    //  Copyright ? 2016年 Candy. All rights reserved.
    //
    
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define ls(x) t[x].lc
    #define rs(x) t[x].rc
    typedef long long ll;
    const int N=2e4+5;
    inline int read(){
        char c=getchar();int x=0,f=1;
        while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
        while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
        return x*f;
    }
    int n,Q,m,a[N],mp[N],i,j,k;
    char s[2];
    struct question{
        char s[10];
        int i,j,k,x,d;
    }q[N];
    void inithash(){
        sort(mp+1,mp+1+m);
        int p=1;
        for(int i=2;i<=m;i++) if(mp[i]!=mp[i-1]) mp[++p]=mp[i];
        m=p;
    }
    inline int Bin(int v){
        int l=1,r=m;
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if(mp[mid]==v) return mid;
            if(mp[mid]>v) r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        return -1;
    }
    
    inline int lowbit(int x){return x&-x;}
    struct node{
        int lc,rc,w;
    }t[N*200];
    int sz=0,root[N];
    void ins(int &x,int l,int r,int num,int v){
        t[++sz]=t[x];x=sz;
        t[x].w+=v;
        if(l==r) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(num<=mid) ins(t[x].lc,l,mid,num,v);
        else ins(t[x].rc,mid+1,r,num,v);
    }
    void add(int p,int v){
        int _=Bin(a[p]);//printf("add %d %d %d
    ",p,a[p],_);
        for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)) ins(root[i],1,m,_,v);
    }
    int q1[N],t1,q2[N],t2;
    int cal(){
        int sum1=0,sum2=0;
        for(int i=1;i<=t1;i++) sum1+=t[ls(q1[i])].w;
        for(int i=1;i<=t2;i++) sum2+=t[ls(q2[i])].w;
        return sum2-sum1;
    }
    int query(int ql,int qr,int k){//printf("query %d %d %d
    ",l,r,k);
        int l=1,r=m;t1=t2=0;
        for(int i=ql-1;i;i-=lowbit(i)) q1[++t1]=root[i];
        for(int i=qr;i;i-=lowbit(i)) q2[++t2]=root[i];
        while(l<r){
            int ls=cal(),mid=(l+r)>>1;//printf("hi %d %d %d
    ",l,r,ls);
            if(k<=ls){
                for(int i=1;i<=t1;i++) q1[i]=t[q1[i]].lc;
                for(int i=1;i<=t2;i++) q2[i]=t[q2[i]].lc;
                r=mid;
            }else{
                for(int i=1;i<=t1;i++) q1[i]=t[q1[i]].rc;
                for(int i=1;i<=t2;i++) q2[i]=t[q2[i]].rc;
                l=mid+1;k-=ls;
            }
        }
        return l;
    }
    void solve(){
        for(int i=1;i<=n;i++) add(i,1);
        for(int i=1;i<=Q;i++){
            if(q[i].s[0]=='Q'){
                printf("%d
    ",mp[query(q[i].i,q[i].j,q[i].k)]);
            }else{
                add(q[i].x,-1);
                a[q[i].x]=q[i].d;
                add(q[i].x,1);
            }
        }
    }
    int main(int argc, const char * argv[]){
        //freopen("in.txt","r",stdin);
            n=read();Q=read();
            for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=mp[++m]=read();
            for(int i=1;i<=Q;i++){
                scanf("%s",q[i].s);
                if(q[i].s[0]=='Q') q[i].i=read(),q[i].j=read(),q[i].k=read();
                else q[i].x=read(),q[i].d=mp[++m]=read();
            }
            inithash();
            solve();
        return 0;
    }
    View Code

    [2016-12-31]

    有一个优化,初始化序列像普通主席树一样建前缀和套线段树,树状数组维护的只是修改量,这样对于一段区间就是树状数组和前缀和两个加起来

    这样初始化就是nlogn了,时间空间都是

    //
    //  main.cpp
    //  zoj2112
    //
    //  Created by Candy on 2016/12/11.
    //  Copyright ? 2016年 Candy. All rights reserved.
    //
    
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define ls(x) t[x].lc
    #define rs(x) t[x].rc
    typedef long long ll;
    const int N=2e4+5;
    inline int read(){
        char c=getchar();int x=0,f=1;
        while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
        while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
        return x*f;
    }
    int n,Q,m,a[N],mp[N],i,j,k;
    char s[2];
    struct question{
        char s[10];
        int i,j,k,x,d;
    }q[N];
    void inithash(){
        sort(mp+1,mp+1+m);
        int p=1;
        for(int i=2;i<=m;i++) if(mp[i]!=mp[i-1]) mp[++p]=mp[i];
        m=p;
    }
    inline int Bin(int v){
        int l=1,r=m;
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if(mp[mid]==v) return mid;
            if(mp[mid]>v) r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        return -1;
    }
    
    inline int lowbit(int x){return x&-x;}
    struct node{
        int lc,rc,w;
    }t[N*100];
    int sz=0,root[N],rt[N];
    void ins(int &x,int l,int r,int num,int v){
        t[++sz]=t[x];x=sz;
        t[x].w+=v;
        if(l==r) return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(num<=mid) ins(t[x].lc,l,mid,num,v);
        else ins(t[x].rc,mid+1,r,num,v);
    }
    void add(int p,int v){
        int _=Bin(a[p]);
        for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)) ins(root[i],1,m,_,v);
    }
    int q1[N],t1,q2[N],t2;
    int cal(){
        int sum1=0,sum2=0;
        for(int i=1;i<=t1;i++) sum1+=t[ls(q1[i])].w;
        for(int i=1;i<=t2;i++) sum2+=t[ls(q2[i])].w;
        return sum2-sum1;
    }
    int query(int ql,int qr,int k){
        int l=1,r=m;t1=t2=0;
        for(int i=ql-1;i;i-=lowbit(i)) q1[++t1]=root[i];
        for(int i=qr;i;i-=lowbit(i)) q2[++t2]=root[i];
        ql--;
        ql=rt[ql];qr=rt[qr];
        while(l<r){
            int lsize=cal()+t[ls(qr)].w-t[ls(ql)].w,mid=(l+r)>>1;
            if(k<=lsize){
                for(int i=1;i<=t1;i++) q1[i]=t[q1[i]].lc;
                for(int i=1;i<=t2;i++) q2[i]=t[q2[i]].lc;
                ql=ls(ql);qr=ls(qr);
                r=mid;
            }else{
                for(int i=1;i<=t1;i++) q1[i]=t[q1[i]].rc;
                for(int i=1;i<=t2;i++) q2[i]=t[q2[i]].rc;
                ql=rs(ql);qr=rs(qr);
                l=mid+1;k-=lsize;
            }
        }
        return l;
    }
    void solve(){
        for(int i=1;i<=n;i++) rt[i]=rt[i-1],ins(rt[i],1,m,Bin(a[i]),1);
        for(int i=1;i<=Q;i++){
            if(q[i].s[0]=='Q'){
                printf("%d
    ",mp[query(q[i].i,q[i].j,q[i].k)]);
            }else{
                add(q[i].x,-1);
                a[q[i].x]=q[i].d;
                add(q[i].x,1);
            }
        }
    }
    int main(int argc, const char * argv[]){
        //freopen("in.txt","r",stdin);
            n=read();Q=read();
            for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=mp[++m]=read();
            for(int i=1;i<=Q;i++){
                scanf("%s",q[i].s);
                if(q[i].s[0]=='Q') q[i].i=read(),q[i].j=read(),q[i].k=read();
                else q[i].x=read(),q[i].d=mp[++m]=read();
            }
            inithash();
            solve();
        return 0;
    }
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