[莫比乌斯反演]【学习笔记】[旧]

【2017-03-23 这篇弃掉了，请看新笔记 】

参考资料：

[大部分还没看完,目前主要看了popoqqq那篇 orz]

http://wenku.baidu.com/link?url=Kzzxkk64CFU7sfDeJbGKNpZpFJzJY1ZwNoaPgGo7tPSpv4KJvGAkStkpzytG46gjQuqNX7NB0merxfS4knD2H5fw7s4oHu1o1-6p16_VbEm

http://wenku.baidu.com/view/77396ebb27d3240c8547ef2e.html?re=view

浅谈一类积性函数的前缀和

http://vfleaking.blog.uoj.ac/slide/87 

 

【零】

什么是反演：

假设有两个函数 f 和 g 满足：

f(n)=∑k a[n,k]*g(k)

已知 f 求 g 的过程就称为反演。

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【一】

1. 若f(n)的定义域为正整数域，值域为复数，即f:Z+→C，则称f(n)为数论函数。
2. 若f(n)为数论函数，且f(1)=1，对于互质的正整数p,q有f(p⋅q)=f(p)⋅f(q)，则称其为积性函数。
3. 若f(n)为积性函数，且对于任意正整数p,q都有f(p⋅q)=f(p)⋅f(q)，则称其为完全积性函数。
4. 积性函数的前缀和也是积性函数

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【二】

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形式二：

【莫比乌斯函数】

1.

• 莫比乌斯函数μ(n)，在狄利克雷卷积的乘法中与恒等函数互为逆元，mu*1=e
• 积性函数.　　证明：μ(n)=∏μ(pi^ei),每个pi^ei是互质的
• μ(1)=1
  
• μ(n)=(-1)^k 若n是k个不同prime之积 （质因子的次数都为1）
• 0 其他情况

2.性质：

(1)

        

 

证明：n!=1时，质因子次数都为1，i个质因子的有C(k,i)个，

列出来根据二项式定理

得证

就是容斥原理，奇数个质因子减，偶数个质因子加，

(2)

n=Σ{d|n | phi(d)}

 证明：

i/n化为最简分数j/d，那么d|n且gcd(j,d)=1

以d为分母的最简分数有phi(d)个

一共n个分数 

(3)

 

证明：用上面那个式子，裸上莫比乌斯反演 f(n)=n,g(n)=phi(n)

3.求莫比乌斯函数

线性筛

bool notp[N];
int p[N],mu[N];
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N-1;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N-1;j++){
            int t=i*p[j];
            notp[t]=1;
            if(i%p[j]==0){
                mu[t]=0;
                break;      
            }
            mu[t]=-mu[i];
        }
    }
}

 

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【莫比乌斯反演的证明】

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【一句话】 

莫比乌斯反演就是偏序集上的容斥原理

 

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用处：

来自popoqqq：

• 对于一些函数f(n)，如果我们很难直接求出它的值，而容易求出倍数和或约数和F(n)，那么我们可以通过莫比乌斯反演来求得f(n)的值
• 例：f(n)表示某一范围内(x,y)=n的数对的数量，F(n)表示某一范围内n|(x,y)的数对的数量
• 那么直接求f(n)并不是很好求，而F(n)求起来相对无脑一些，我们可以通过对F(n)进行莫比乌斯反演来求得f(n)