BZOJ 1426: 收集邮票 [DP 期望 平方]

传送门

题意：

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

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想了好几天了

一开始想求期望次数再套上等差数列，然后一直$WA$

其实应该再求长度平方的期望，就因为变量平方的期望想了好几天

非常感谢SD_le大爷的帮助

先说怎么求期望次数

$f[i]$表示已经有$i$种集齐$n$种的期望次数

$f[i]=f[i+1]+frac{n}{n-i}$

推导：

设$p_i$为有$i$种再买到一种不同的需要几张，$Q=frac{n-i}{n}$

$p_i=Q+(1-Q)Q+(1-Q)(1-Q)Q+...=frac{1}{Q}$

其实这个结论看起来比较显然.....

 

然后设$g[i]$为变量平方的期望

我一直觉得$g[i]=g[i+1]+2*frac{n}{n-i}*f[i+1]+frac{n^2}{(n-i)^2}$，因为我感觉期望的关系就是变量的关系了

但不对，首先$g[i+1]=f[i+1]^2$一看就不能这么写

民科的想一下，期望的关系是一种加概率平均的关系，不能反映每个变量的关系

所以，请看这里http://www.cnblogs.com/ezyzy/p/6475861.html

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int N=1e4+5;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
double f[N],g[N];
int main(){
    n=read();
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        f[i]=f[i+1]+(double)n/(n-i);
        g[i]=g[i+1] + 2*f[i+1] + 2.0*i/(n-i)*f[i] + (double)n/(n-i);
    }
    printf("%.2lf",(f[0]+g[0])/2);
}