生成子群 & 原根
随便记一点东西...
子群：
(群(S,oplus), (S',oplus), 满足S' subset S，则(S',oplus)是(S,oplus)的子群)
拉格朗日定理:
(|S'| mid |S|)
证明需要用到陪集，得到陪集大小等于子群大小，每个陪集要么不想交要么相等，所有陪集的并是集合S，那么显然成立。
生成子群
(a in S)的生成子群(<a>={a^{(k)}: kge 1})，(a)是(<a>)的生成元
阶：
群(S)中(a)的阶是满足(a^t=e)的最小的t,符号(ord(a))
(ord(a)=|<a>|)，显然成立
考虑群(Z_n^*={[a]_n in Zn:gcd(a,n)=1}, |Z_n^*| = phi(n))
阶就是满足(a^{ord(a)} equiv 1 pmod n)的最小(ord(a))
原根
(g满足ord_n(g)=|Z_n^*|=phi(n))
离散对数
(g^t equiv a pmod n, ind_{n,g}=t)
因为g是原根，所以(g^t)每(phi(n))是一个周期，可以取到(|Z_n^*|)的所有元素
对于n是质数时，就是([1,n-1])的所有数