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  • 关于最小割问题的一点思考
  • 关于最小割问题的一点思考

    再次明确定义

    流网络定义在有向图上。无向图拆成有向图。然而不拆也可以。

    最小割是一个边集((S,T)),将点分成 (S,T=V-S) 两个集合

    最小割的容量(c(S,T) = sum_{u in S} sum_{v in T} c(u,v))

    所以删去割集中所有边后,从s到t不连通。最大流后割集上的边(从s到t方向)满流。

    (从t到s不一定。)

    最小割的唯一性

    最大流后的残量网络中,满流的边不一定是割边,割边一定满流

    最小割的容量是割边的容量和,等于最大流的流量

    最小割唯一意味着点集唯一

    唯一性判定:

    当存在强连通分量(可能只是一个点) (u),满足在残量网络上没有s到u和u到t的路径,那么u可以分配到(S)(T)中,最小割不唯一。

    所以就是从s开始bfs,再从t倒着bfs(看反向边流量)

    一个典型的栗子:
    1 2 1
    2 3 1
    2 3 1
    3 4 1

    求scc的判定方法:

    判断某条边是否可以在割集中,是否必定在割集中

    求出scc后再判定

    可以发现,求scc后,scc之间连的单向边是因为有一个方向满流(有向图的话,默认反向弧满流)

    jcvb:

    在残余网络上跑tarjan求出所有SCC,记id[u]为点u所在SCC的编号。显然有id[s]!=id[t](否则s到t有通路,能继续增广)。

    1. 对于任意一条满流边(u,v),(u,v)能够出现在某个最小割集中,当且仅当id[u]!=id[v];
    2. 对于任意一条满流边(u,v),(u,v)必定出现在最小割集中,当且仅当id[u] == id[s]且id[v] == id[t]。

    证明:

    <==将每个SCC缩成一个点,得到的新图就只含有满流边了。那么新图的任一s-t割都对应原图的某个最小割,从中任取一个把id[u]和id[v]割开的割即可证明。


    <==:假设将(u,v)的边权增大,那么残余网络中会出现s->u->v->t的通路,从而能继续增广,于是最大流流量(也就是最小割容量)会增大。这即说明(u,v)是最小割集中必须出现的边。

    PS:无向图

    反向弧容量为c,无需加两次

    也可以加两次QwQ

    两个模板

    //zoj2587
    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    const int N = 1005, M = 20005, inf = 1e9;
    
    int n, m, s, t;
    
    struct edge {int v, ne, c, f;} e[M];
    int cnt = 1, h[N];
    inline void ins(int u, int v, int c) {
    	e[++cnt] = (edge) {v, h[u], c, 0}; h[u] = cnt;
    	e[++cnt] = (edge) {u, h[v], c, 0}; h[v] = cnt;
    }
    int cur[N], vis[N], d[N], head, tail, q[N];
    bool bfs() {
    	memset(vis, 0, sizeof(vis));
    	head = tail = 1;
    	q[tail++] = s; d[s] = 0; vis[s] = 1;
    	while(head != tail) {
    		int u = q[head++];
    		for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
    			int v = e[i].v;
    			if(!vis[v] && e[i].c > e[i].f) {
    				vis[v] = 1;
    				d[v] = d[u] + 1;
    				q[tail++] = v;
    				if(v == t) return true;
    			}
    		}
    	}
    	return false;
    }
    int dfs(int u, int a) { //printf("dfs %d %d
    ", u, a);
    	if(u==t || a==0) return a;
    	int flow = 0, f;
    	for(int &i=cur[u]; i; i=e[i].ne) {
    		int v = e[i].v;
    		if(d[v] == d[u]+1 && (f = dfs(v, min(a, e[i].c-e[i].f))) > 0) {
    			flow += f;
    			e[i].f += f;
    			e[i^1].f -= f;
    			a -= f;
    			if(a == 0) break;
    		}
    	}
    	if(a) d[u] = -1;
    	return flow;
    }
    int dinic() {
    	int flow = 0;
    	while(bfs()) {
    		for(int i=1; i<=n; i++) cur[i] = h[i];
    		flow += dfs(s, inf);
    	}
    	return flow;
    }
    
    
    int bfs2(int s) {
    	int ans = 1;
    	memset(vis, 0, sizeof(vis));
    	head = tail = 1;
    	q[tail++] = s; vis[s] = 1;
    	while(head != tail) {
    		int u = q[head++];
    		for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
    			int v = e[i].v;
    			if(vis[v] || e[i].c==e[i].f) continue;
    			vis[v] = 1;
    			ans++;
    			q[tail++] = v;
    		}
    	}
    	return ans;
    }
    
    int bfs3(int s) {
    	int ans = 1;
    	memset(vis, 0, sizeof(vis));
    	head = tail = 1;
    	q[tail++] = s; vis[s] = 1;
    	while(head != tail) {
    		int u = q[head++];
    		for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
    			int v = e[i].v;
    			if(vis[v] || e[i^1].c==e[i^1].f) continue;
    			vis[v] = 1;
    			ans++;
    			q[tail++] = v;
    		}
    	}
    	return ans;
    }
    
    int main() {
    	freopen("in", "r", stdin);
    	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(); cout.tie();
    
    	while(true) {
    		cin >> n >> m >> s >> t;
    		if(n == 0) break;
    		cnt = 1;
    		memset(h, 0, sizeof(h));
    		for(int i=1; i<=m; i++) { 
    			int u, v, c;
    			cin >> u >> v >> c;
    			ins(u, v, c);
    		}
    		dinic();
    		int cnt1 = bfs2(s), cnt2 = bfs3(t);
    		if(cnt1 + cnt2 < n) cout << "AMBIGUOUS" << endl;
    		else cout << "UNIQUE" << endl;
    	}
    }
    
    //[AHOI2009]最小割
    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    const int N = 4005, M = 6e4+5, inf = 1e9;
    
    int n, m, s, t;
    struct edge {int u, v, ne, c, f;} e[M<<1];
    int cnt=1, h[N];
    inline void ins(int u, int v, int c) {
    	e[++cnt] = (edge) {u, v, h[u], c, 0}; h[u] = cnt;
    	e[++cnt] = (edge) {v, u, h[v], 0, 0}; h[v] = cnt;
    }
    int cur[N], vis[N], d[N], head, tail, q[N];
    bool bfs() {
    	memset(vis, 0, sizeof(vis));
    	head = tail = 1;
    	q[tail++] = s; d[s] = 0; vis[s] = 1;
    	while(head != tail) {
    		int u = q[head++];
    		for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
    			int v = e[i].v;
    			if(!vis[v] && e[i].c > e[i].f) {
    				vis[v] = 1;
    				d[v] = d[u]+1;
    				q[tail++] = v;
    				if(v == t) return true;
    			}
    		}
    	}
    	return false;
    }
    int dfs(int u, int a) {
    	if(u==t || a==0) return a;
    	int flow = 0, f;
    	for(int &i=cur[u]; i; i=e[i].ne) {
    		int v = e[i].v;
    		if(d[v] == d[u]+1 && (f = dfs(v, min(a, e[i].c-e[i].f))) > 0) {
    			flow += f;
    			e[i].f += f;
    			e[i^1].f -= f;
    			a -= f;
    			if(a == 0) break;
    		}
    	}
    	if(a) d[u] = -1;
    	return flow;
    }
    int dinic() {
    	int flow = 0;
    	while(bfs()) {
    		for(int i=1; i<=n; i++) cur[i] = h[i];
    		flow += dfs(s, inf);
    	}
    	return flow;
    }
    
    int dfn[N], low[N], dfc, scc, belong[N], st[N], top;
    void dfs(int u) {
    	dfn[u] = low[u] = ++dfc;
    	st[++top] = u;
    	for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) if(e[i].c > e[i].f) {
    		int v = e[i].v;
    		if(!dfn[v]) {
    			dfs(v);
    			low[u] = min(low[u], low[v]);
    		} else if(!belong[v]) 
    			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    	}
    	if(low[u] == dfn[u]) {
    		scc++;
    		while(true) {
    			int x = st[top--];
    			belong[x] = scc;
    			if(x == u) break;
    		}
    	}
    }
    
    int main() {
    	freopen("in", "r", stdin);
    	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(); cout.tie();
    	cin >> n >> m >> s >> t;
    	for(int i=1; i<=m; i++) {
    		int u, v, c;
    		cin >> u >> v >> c;
    		ins(u, v, c);
    	}
    	dinic();
    	for(int i=1; i<=n; i++) if(!dfn[i]) dfs(i);
    	//for(int i=1; i<=n; i++) printf("dfn %d %d %d
    ", i, dfn[i], belong[i]);
    
    	int a = belong[s], b = belong[t];
    	for(int i=1; i<=m; i++) {
    		int u = e[i<<1].u, v = e[i<<1].v;
    		if(e[i<<1].c == e[i<<1].f && belong[u] != belong[v]) cout << 1 << ' ';
    		else cout << 0 << ' ';
    		if(e[i<<1].c == e[i<<1].f && belong[u] == a && belong[v] == b) cout << 1 << '
    ';
    		else cout << 0 << '
    ';
    	}
    }
    
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  • 原文:https://www.cnblogs.com/candy99/p/9329949.html
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