dsu on tree
简介
我也不清楚dsu是什么的英文缩写...
好吧是Disjoint Set Union 并查集2333
就像是树上的启发式合并
用到了(heavy-light decomposition)树链剖分
把轻边子树的信息合并到重链上的点里
因为每次都是先dfs轻儿子再dfs重儿子，只有重儿子子树的贡献保留，所以可以保证dfs到每颗子树时当前全局维护的信息不会有别的子树里的，和莫队很像
算法过程
find the BigChild of each vertex
dfs(u, fa, keep)
dfs(LightChild, u, 0)
dfs(BigChild, u, 1), big[BigChild] = 1
update(u, fa, 1) //calculate the contribution of u's LightChild's SubTree
update the ans of u
big[BigChild] = 0
if keep == 0
update(u, fa, -1) //remove the contributino of u's SubTree
update(u, fa, val)
calculate u's information
update(v : (u, v) and !big[v], u, val)
先递归计算轻儿子子树，递归结束时消除他们的贡献
再递归计算重儿子子树，保留他的贡献
再计算当前子树中所有轻子树的贡献
更新答案
如果当前子树是父节点的轻子树，消除当前子树的贡献
复杂度分析
显然只有遇到轻边才会把自己的信息合并到父节点
树链剖分后每个点到根的路径上有(logn)条轻边和(lgon)条重链
一个点的信息只会向上合并(logn)次
如果一个点的信息修改是(O(1))的，那么总复杂度就是(O(nlogn))
从这里我们可以发现和对dfs序使用莫队有异曲同工之妙，莫队也要求修改的复杂度很低
应用
- 优秀的dfs序莫队替代品，复杂度(sqrt{n} ightarrow logn)
- 结合点分治的思想可以做一些有根树上的路径统计问题
模板题
CF600E. Lomsat gelral
题意：询问每颗子树中出现次数最多的颜色们编号和
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, ll>
#define MP make_pair
#define fir first
#define sec second
const int N=1e5+5;
int read(){
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
return x*f;
}
int n, a[N];
struct edge{int v, ne;}e[N<<1];
int cnt, h[N];
inline void ins(int u, int v) {
e[++cnt]=(edge){v, h[u]}; h[u]=cnt;
e[++cnt]=(edge){u, h[v]}; h[v]=cnt;
}
int size[N], mx[N], big[N];
void dfs(int u, int fa) {
size[u]=1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
if(e[i].v != fa) {
dfs(e[i].v, u);
size[u] += size[e[i].v];
if(size[e[i].v] > size[mx[u]]) mx[u] = e[i].v;
}
}
int cou[N], Max; ll ans[N];
pii f[N];
void update(int u, int fa, int val) {
int &c = cou[a[u]];
f[c].fir --; f[c].sec -= a[u];
c += val;
f[c].fir ++; f[c].sec += a[u];
if(val==1) Max = max(Max, c);
else if(!f[Max].fir) Max--;
for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
if(e[i].v != fa && !big[e[i].v]) update(e[i].v, u, val);
}
void dfs(int u, int fa, int keep) {
for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
if(e[i].v != fa && e[i].v != mx[u]) dfs(e[i].v, u, 0);
if(mx[u]) dfs(mx[u], u, 1), big[mx[u]] = 1;
update(u, fa, 1);
ans[u] = f[Max].sec;
big[mx[u]] = 0;
if(!keep) update(u, fa, -1);
}
int main() {
//freopen("in","r",stdin);
n=read();
for(int i=1; i<=n; i++) a[i]=read();
for(int i=1; i<n; i++) ins(read(), read());
dfs(1, 0);
dfs(1, 0, 1);
for(int i=1; i<=n; i++) printf("%I64d ",ans[i]);
}