混合图的欧拉回路问题
欧拉回路问题。
1 定义 欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (Euler circuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图——存在欧拉回路的图。
2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定 G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。 G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。
3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定 D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。 D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。
4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合，即图中的边既有有向边也有无向边。
5 混合图欧拉回路 混合图欧拉回路用的是网络流。
把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。 现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以 2，得 x。即是说，对于每一个点，只要将 x 条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。 现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限 1。另新建 s 和 t。对于入 > 出的点 u，连接边(u, t)、容量为 x，对于出 > 入的点 v，连接边(s, v)，容量为 x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是 1，流值不是 0 就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有 x 条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和 s、t 连接的点怎么办？和s 连接的条件是出 > 入，和 t 连接的条件是入 > 出，那么这个既没和 s 也没和 t 连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。 所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。
上面的结论很有用，值得保存一下，这道题的最大流算法用的是dinic算法，初次接触，比较生疏，但是学完这个让我有种感觉，最大流的整个求解的过程基本上都是一样的，只是中间的处理会体现出时间上的效率不同，这个是先宽搜，确定存在增广路径，然后利用一遍遍的深搜快速的确定最大流
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1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #define N 205 5 #define M 4050 6 #define inf 100000000 7 using namespace std; 8 struct edge 9 { 10 int v,flow,next; 11 }; 12 edge e[M]; 13 int min(int a,int b) 14 { 15 return a<b?a:b; 16 } 17 int head[N],t; 18 int in[N]; 19 int que[N],dis[N]; 20 void init() 21 { 22 memset(head,-1,sizeof(head)); 23 memset(in,0,sizeof(in)); 24 t=0; 25 } 26 void add(int u,int v,int val) 27 { 28 e[t].v=v,e[t].flow=val,e[t].next=head[u],head[u]=t++; 29 e[t].v=u,e[t].flow=0,e[t].next=head[v],head[v]=t++; 30 } 31 bool bfs(int s,int end) 32 { 33 memset(dis,0,sizeof(dis)); 34 dis[s]=1; 35 int i,u,v,r,f; 36 f=r=0; 37 que[r++]=s; 38 dis[s]=1; 39 while(f<r) 40 { 41 u=que[f++]; 42 if(u==end) 43 return true; 44 for(i=head[u];i>=0;i=e[i].next) 45 { 46 v=e[i].v; 47 if(e[i].flow&&dis[v]==0) 48 { 49 dis[v]=dis[u]+1; 50 que[r++]=v; 51 } 52 } 53 } 54 return false; 55 } 56 int dfs(int u,int exp,int end) 57 { 58 if(u==end) 59 return exp; 60 int i,v,temp; 61 int sum=0; 62 for(i=head[u];i>=0&&sum<exp;i=e[i].next) 63 { 64 v=e[i].v; 65 if(e[i].flow>0&&dis[v]==dis[u]+1&&()>0)//这里的处理和EK算法差不多 66 { 67 temp=dfs(v,min(exp-sum,e[i].flow),end); 68 e[i].flow-=temp; 69 e[i^1].flow+=temp; 70 sum+=temp; 71 } 72 } 73 if(!sum) 74 dis[u]=0; 75 return sum; 76 } 77 int dinic(int s,int end) 78 { 79 int ans=0,i,v,temp; 80 while(bfs(s,end)) 81 { 82 while(temp=dfs(s,inf,end)) 83 ans+=temp; 84 } 85 return ans; 86 } 87 int main() 88 { 89 int i,j,u,v,n,m,sum; 90 int tcase; 91 bool flag; 92 scanf("%d",&tcase); 93 while(tcase--) 94 { 95 init(); 96 sum=0; 97 scanf("%d%d",&n,&m); 98 while(m--) 99 { 100 scanf("%d%d%d",&u,&v,&j); 101 --in[u],++in[v]; 102 if(!j) 103 add(u,v,1); 104 } 105 flag=true; 106 for(i=1;i<=n;i++) 107 { 108 if(in[i]&1) 109 { 110 flag=false; 111 break; 112 } 113 } 114 if(flag) 115 { 116 for(i=1;i<=n;i++) 117 { 118 if(in[i]<0) 119 add(0,i,(-in[i])>>1); 120 if(in[i]>0) 121 { 122 add(i,n+1,in[i]>>1); 123 sum+=(in[i]>>1); 124 } 125 } 126 flag=(sum==dinic(0,n+1)); 127 } 128 if(flag) 129 printf("possible"); 130 else 131 printf("impossible"); 132 printf("\n"); 133 } 134 return 0; 135 }