皮克定理（多边形面积与多边形所包含整数点的关系）

皮克定理：$2S=2a+b-2$

S为多边形面积，a为多边形内部的点数，b为多边形上的点数

 

模板题：https://vjudge.net/problem/Gym-101873G

先用叉积求出多边形的面积S，然后再计算多边形上经过的整数点个数$b，a=(2S-b+2)/2$

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e5+110;
struct Node
{
    ll x,y;
}node[maxn];
ll cal(int a,int b,int c)
{
    return (node[a].x-node[b].x)*(node[b].y-node[c].y)-(node[b].x-node[c].x)*(node[a].y-node[b].y);
}
ll cal2(int a,int b)
{
    ll x=abs(node[a].x-node[b].x);
    ll y=abs(node[a].y-node[b].y);
    return __gcd(x,y);
}

int main()
{
    int n;
    ll b=0,S=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld %lld",&node[i].x,&node[i].y);
    for(int i=3;i<=n;i++)
        S+=cal(1,i-1,i);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        b+=cal2(i,i-1);
    b+=cal2(n,1);
    cout<<(abs(S)-b+2)/2<<endl;
    return 0;
}