由某个集合上的偏序得到全序的策略就是拓补排序算法。拓扑排序常出现在涉及偏序关系的问题中，例如时序的先后、事物的依赖等。针对这些问题拓扑排序通常能有效地给出可行解。
一、实例
为了便于理解，我们先来看一个实例，开源软件常使用GNU make工具来管理项目的构建，这里的“项目”是由若干个“对象”构成的。Makefile文件则描述了这些“对象”的构建规则，即给出一系列对象间的依赖关系。若对象A依赖于对象B，则说明对象B必须先于对象A构建，否则构建将无法进行。make的任务就是合理安排各个对象构建的先后顺序，使得过程能顺利地完成。
作为例子，一个Makefile文件的内容如下：每行描述一个规则。例如第一行指明对象foo.o和bar.o必须先于target构建。
target: foo.o bar.o foo.o: foo.c foo.h bar.o: bar.c bar.h
我们先对问题进行数学转化。离散数学为我们描述对象间的关系提供了有力工具——偏序。令X为所有要研究的对象的集合。集合X上的一个关系R是偏序，当且仅当R满足自反性、对称性、传递性。
定义如下关系：xRy：x必须先于y被构建，即y依赖x，因为R满足偏序的性质，xRy也记为x≼y。到此我们成功地对问题进行了建模。接下来使用DAG来表示每个对象间的关系，图的每一个顶点表示一个对象、有向线段表示关系 起点≼终点。
（图一）
如何合理布局各个对象的构建顺序，使得构建过程可以顺利地进行下去呢？一种直观的想法是：先选择不被其它对象依赖的作为第1个对象；再考虑第2个对象，它除了已选的第1个对象外，不应该被其它对象依赖；选择第n个对象，它除了前面已选的第1~n-1对象外，不能再被其它对象依赖；依次继续下去，直到留下最后一个对象
按照这个规则依次选出对象，将最先选出的放左边，最后选出的放右边，结果如下。但这并不是真正的拓扑排序：
（图二）
因为“选择”只相当于对图重新摆了一个形态，而图所描述的关系并没有本质的改变。如何解决这一问题？这就要引入全序。从图中直观地看出，只有部分对象之间具有偏序关系，作为反例，bar.h与bar.c之间无偏序关系，因此R不是集合X上的全序关系。试想如果为每一对不能比较的对象<u,v>添加一个关系u≼v（或v≼u），使得集合X中每两个对象都能建立关系，则R就成为了X上的全序关系，如图三所示。
（图三）
按照Hass图的顺序排列各个顶点得到图三。一个重要的观察是，对于图中任意一对顶点u和v，若边<u,v>∈Edges，则u在线性序列中出现在v之前，因此我们得到的结果线性有序。
线性排列所有顶点，如下图所示：
这个结果便是原图的拓扑排序。
因为添加关系u≼v的方法不一定唯一，所以拓扑排序不一定唯一。
拓扑排序存在的充分必要条件是图为DAG（有向无环图），这可用于判断问题是否有解，也可用于判断一个有向图是否有环。
二、算法与实现
算法过程如下：对于输入的DAG，首先统计所有顶点的入度。然后：
| a. | 寻找所有入度为0的顶点，追加到结果序列末尾，将其从图中移除，同时将邻接顶点的入度减一。 |
| b. | 重复a，直到所有顶点都从图中移除。 |
算法结束时，所得结果序列便是最终答案。
备注：
上述的“移除”只是逻辑概念，不需要真的把顶点从图中移除。
再次强调，对于带环有向图，环上顶点入度必不为0，拓扑排序不存在。
最后通过一道UVa的题目来说明算法的具体实现：
UVa10305（Ordering Tasks）
题目大意
给出一堆任务，其中一个任务必须在它依赖的所有任务都完成后才能执行。已知任务之间的关系，求可能的执行顺序。
分析
思路与make的例子一致。这里使用vector存储邻接表，数组deg_in维护每个顶点的入度，队列que维护每趟中入度被减为0的顶点。
参考代码
#include <iostream> #include <queue> #define N 100+2 using namespace std; static vector<int> con[N]; static int deg_in[N]; int main(void) { ios::sync_with_stdio(false); int n,m; while((cin >> n >> m) && n) { for(int i=1;i<=n;++i) { con[i].clear(); deg_in[i] = 0; } for(int i=0; i<m; ++i) { int a,j; cin >> a >> j; con[a].push_back(j); ++deg_in[j]; } // // 找出第一个度为0的顶点 // queue<int> que; vector<int> ans; for(int i=1; i<=n; ++i) { if (!deg_in[i]) { que.push(i); } } // // 求排序中其它n-1个顶点 // while(!que.empty()) { int u = que.front(); que.pop(); ans.push_back(u); for(size_t i=0; i<con[u].size(); ++i) { int t = con[u][i]; if (--deg_in[t] == 0) { que.push(t); } } } for(size_t i=0; i<ans.size(); ++i) { cout << ans[i] << (i==ans.size()-1 ? "" : " "); } cout << endl; } return 0; }