【Weiss】【第03章】练习3.7：有序多项式相乘

【练习3.7】

编写一个函数将两个多项式相乘，用一个链表实现。你必须保证输出的多项式按幂次排列，并且任意幂次最多只有一项。

a.给出以O(M²N²)时间求解该问题的算法。

b.写一个以O(M²N)时间执行乘法的程序，其中M≤N。

c.写一个以O(MNlog(MN))时间执行乘法的程序。

d.上面哪个时间界最好？

Answer：

【a】.将两链表元素两两相乘并列出，从第一项开始，依次与其后的所有项比较，如相等则合并。

合并完成后，每次找出幂次最小的项，插入链表。（最原始的方法）

【b】.M≤1时，方法易知。

M≥2时，每次将长度为M的链表的一项，与另一链表的所有项相乘，每次一组N个有序的多项式元素。

对于每两组上式的N个多项式元素，基本按练习3.5有序链表求并的算法（除幂次相同需将系数相加）操作。

求并算法时间复杂度O(M+N)，故该算法复杂度为

(乘法时间）O(MN)+（求并时间）O（(N+N)+(2N+N)+(3N+N)+……+(MN+N))=O（M²N）

【详情见代码】

【c】.同a先将两链表元素两两相乘并列出，对MN项元素进行O(NlogN)的排序

排序完成后，遍历代码，合并同幂次项，最后全部插入链表。时间复杂度为：

（乘法时间）O(MN)+（排序时间）O(MNlogMN)+（合并同类项时间）O(MN)=O(MNlogMN)

【详见代码】

代码部分，首先是测试代码，b和c的测试代码写在一起了

#include <iostream>
#include "linklist.h"
using linklist::List;
using namespace std;
int main(void)
{
    //测试多项式加法
    List<Poly> a;
    a.additem(Poly(3, 1));
    a.additem(Poly(1, 2));
    a.additem(Poly(4, 3));
    a.additem(Poly(7, 4));
    a.additem(Poly(2, 5));
    cout << "  ( " << flush;
    a.traverse();
    cout << ")  +
" << flush;
    List<Poly> b;
    b.additem(Poly(5, 2));
    b.additem(Poly(2, 3));
    b.additem(Poly(1, 5));
    b.additem(Poly(3, 7));
    b.additem(Poly(1, 11));
    cout << "  ( " << flush;
    b.traverse();
    cout << ") =
" << flush;

    List<Poly> answer = linklist::polymulti_seq(a, b);
    List<Poly> another = linklist::polymulti_sort(a, b);
    cout << "
  ( " << flush;
    answer.traverse();
    cout << ") 
" << flush;

    cout << "
  ( " << flush;
    another.traverse();
    cout << ") 
" << flush;
    system("pause");
}

实现部分，首先需在poly.h中重载多项式元素的乘法运算符

//练习3.7新增，多项式元素乘法*
Poly operator*(const Poly& poly1, const Poly& poly2)
{
    Poly answer;
    answer.coefficient = poly1.coefficient*poly2.coefficient;
    answer.exponent = poly1.exponent + poly2.exponent;
    return answer;
}

然后是小题b代码，包括习题3.5求并成员函数的模板特例化的辅助函数及主相乘算法

//练习3.7b新增，将3.5求并的成员函数特例化
template <> void List<Poly>::join(List<Poly> inorder)
{
    Node<Poly>* curr = front;
    Node<Poly>* prev = nullptr;
    Node<Poly>* curr2 = inorder.front;
    while (curr != nullptr && curr2 != nullptr)
    {
        if (curr->data < curr2->data)
        {
            prev = curr;
            curr = curr->next;
        }
        else if (curr2->data < curr->data)
        {
            additem(curr2->data, prev);
            if (prev == nullptr)
                prev = front;
            else
                prev = prev->next;
            curr2 = curr2->next;
        }
        else
        {
            //对比3.5唯一增加语句
            //当两元素幂次相等时，原链表与新链表的多项式系数相加并将指针后移
            curr->data = curr->data + curr2->data;
            prev = curr;
            curr = curr->next;
            curr2 = curr2->next;
        }
    }
    while (curr2 != nullptr)
    {
        additem(curr2->data, prev);
        if (prev == nullptr)
            prev = front;
        else
            prev = prev->next;
        curr2 = curr2->next;
    }
}

//练习3.7b新增，以O(M²N）时间执行多项式乘法
List<Poly> polymulti_seq(const List<Poly> &inorder_a, const List<Poly> &inorder_b)
{
    //保证首链表长度较小
    if (inorder_a.size() > inorder_b.size())
        return polymulti_seq(inorder_b, inorder_a);
    else
    {    
        List<Poly> answer;
        for (Node<Poly>* iter_a = inorder_a.begin(); iter_a != nullptr; iter_a = iter_a->next)
        {
            //用较短链表中每一个元素乘较长链表，得到临时链表
            {
                List<Poly> temp;
                for (Node<Poly>* iter_b = inorder_b.begin(); iter_b != nullptr; iter_b = iter_b->next)
                    temp.additem(iter_a->data * iter_b->data);
                answer.join(temp);
            }
        }
        return answer;
    }
}

然后为c小题算法，调用了标准库中的快排，需要#include<algorithm>

//练习3.7c新增，以O（MNlogMN）时间执行多项式乘法
List<Poly> polymulti_sort(const List<Poly> &inorder_a, const List<Poly> &inorder_b)
{
    unsigned maxsize = inorder_a.size() * inorder_b.size();
    //申请M*N大小的数组
    Poly* temp_array = new Poly[maxsize];
    unsigned int index = 0;
    //依次对链表每两个节点元素相乘并放在数组中
    for (Node<Poly>* iter_a = inorder_a.begin(); iter_a != nullptr; iter_a = iter_a->next)
        for (Node<Poly>* iter_b = inorder_b.begin(); iter_b != nullptr; iter_b = iter_b->next)
            temp_array[index++] = iter_a->data*iter_b->data;
    //对数组进行升序快排
    sort(&temp_array[0], &temp_array[--index]);
    List<Poly> answer;
    //单次遍历数组，合并同类项
    for (index = 1; index < maxsize; ++index)
    {
        if (temp_array[index] == temp_array[index - 1])
            temp_array[index] = temp_array[index - 1] + temp_array[index];
        else
            answer.additem(temp_array[index - 1]);
    }
    answer.additem(temp_array[index - 1]);
    delete[] temp_array;
    return answer;
}