最小生成树

最小生成树

概念：
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。
简单来说：最小生成树就是在一个连通图（每个点都相连的无向图）中使得权值和最小的树，保证每个点都在里面。
最小生成树其实是最小权重生成树的简称。
最小生成树又叫“MST”。
应用：
例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。
求最小生成树的方法：
最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。
prim算法的时间复杂度不依赖于排序算法，并且主要与点的个数有关，适用于密集图。
kruskal算法需要排序，但使用幷查集可节省判断时间，主要与边的条数有关，适用于稀疏图。
简单来说：Prim算法，适用于点少的图。Kruskal算法，适用于边少的图。

Prim算法

思想：
贪心思想：每次选取最小边。
算法描述：
（1）输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
（2）初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
（3）重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边< u, v >，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将< u, v >边加入集合Enew中；
（4）输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
图例描述：



时间复杂度：
顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v)
邻接表:O(elog2v)
代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1000000;
int n,k,tmp,ans,map[1001][1001],dis[maxn];
bool flag[maxn];
void prim()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    dis[i]=maxn;//初始化
    dis[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        tmp=maxn;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(!flag[j]&&tmp>dis[j])
        {
            tmp=dis[j];
            k=j;
        }//找出最小距离的节点 
        flag[k]=1;//把访问的节点做标记
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(!flag[j]&&dis[j]>map[k][j])
        dis[j]=map[k][j];//更新最短距离
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)//邻接矩阵储存权值 
      for(int j=1;j<=n;j++)
      cin>>map[i][j];
    prim();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    ans+=dis[i];
    cout<<ans;
    return 0;
}

Kruskal算法

基本思路：
克鲁斯卡尔算法是在剩下的所有未选取的边中，找最小边，如果和已选取的边构成回路，则放弃，选取次小边。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,e,fa[101],sum=0;
struct node
{
    int o;
    int u;
    int t;
}a[101];
int find(int x)
{
    if(father[x]!=x)
    father[x]=find(father[x])
    return father[x];
}
int cmp(node a,node b)        
{
    return a.t < b.t;
}
void unionn(int x,int y)
{
    int f1=find(x);
    int f2=find(y);
    if(f1!=f2)fa[f2]=f1;
}
int main()
{
    int k=0;
    cin>>n>>e;
    for(int i=1;i<=e;i++)
    cin>>a[i].o>>a[i].u>>a[i].t;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    fa[i]=i;
    sort(a+1,a+1+e,cmp);
    for(int i=1;i<=e;i++)
    {
        if(find(a[i].o)!=find(a[i].u))
        {
          unionn(a[i].o,a[i].u);
          sum=sum+a[i].t;
          k++;
        }
        if(k==n-1)break;
    }
    cout<<sum;
}