图的连通性问题之tarjan算法

Tarjan算法

一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的线性时间的算法。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义dfn(u)为节点u搜索的次序编号，low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
当dfn(u)=low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法图解：

伪代码：

tarjan(u){
    DFN[u]=Low[u]=++Index   //为节点u设定次序编号和Low初值
    Stack.push(u)           //将节点u压入栈中

    foreach(u,v) in E       //枚举每一条边
    if(v is not visted) //如果节点v未被访问过
        tarjan(v)       //继续向下找
        Low[u]=min(Low[u],Low[v])
    else if(v in S)     //如果节点v还在栈内
        Low[u]=min(Low[u],DFN[v])
    if(DFN[u]==Low[u])  //如果节点u是强连通分量的根
    repeat
        v=S.pop//将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
        print v
    until(u==v)
}

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。N为点数，M为边数。