欧拉定理
若 (gcd(a,m)=1),则
(phi(m),m>1)表示(le m)的数中与(m)互质的正整数的个数
证明
设与(m)互质的数为(b_1,b_2,...,b_{phi(m)})
(ecause gcd(a,m)=1)
( herefore ab_1,ab_2,...,ab_{phi(m)})都与(m)互质,且均不相同
( herefore { b})中,每个数都与({ab})中的一个数同余,且一一对应。
( herefore a^{phi(m)}prod_{i=1}^{phi(m)}b_i equiv prod_{i=1}^{phi(m)}ab_iequiv prod_{i=1}^{phi(m)} b_i pmod m)
( herefore m|a^{phi(m)}prod_{i=1}^{phi(m)}b_i-prod_{i=1}^{phi(m)}b_i)
即(m|(a^{phi(m)}-1 prod_{i=1}^{phi(m)}b_i)
又(ecause gcd(m,prod_{i=1}^{phi(m)}b_i)=1)
( herefore m|a^{phi(m)}-1)
即有(a^{phi(m)}equiv 1pmod m)
费马小定理
当(p)为质数,则
(ecause ext{此时},phi(p)=p-1)
可见,费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况
扩展欧拉定理
即(gcd(a,m) e 1)时
先看(gcd(a,m)=1)
...
当(gcd(a,m) e 1,c<phi(m))时
无需证明
当(gcd(a,m) e 1,c ge phi(m))时,
证明
设(p)为(a)的质因子,令(m=s imes p^r,gcd(s,p)=1)
(p^{phi(s)} equiv 1 pmod m)
(ecause ext{s不含因子p})
( herefore phi(s)|phi(m))
( herefore p^{phi(m)} equiv 1 pmod s)
( o p^{k phi(m)}equiv 1 pmod s)
$ o p^{k phi(m)+r}equiv p^r pmod {s imes p^r} $
$ o p^{k phi(m)+r+c}equiv p^{r+c} pmod m $
(ecause k,c in mathbb{N}^+)
( herefore ext{上述可表述为:若}c ge r, ext{则} p^c equiv p^{k phi(m)+c} pmod m)
设(a)中含有因子(p^k,c ge phi(m) ge r)
(a)的每个因子满足上式
根据同余的性质 则(a^c equiv a^{c mod phi(m)+phi(m) pmod m})
于是
练习题就是上一篇的两道题
Code
略
=====这是华丽的分割线
( ext{心上的伤,只有自己最疼;难言的痛,只有自己最懂.其实,很多心事,不必说给每个人听})