欧几里得算法扩展（extended gcd）解不定方程_初入门

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(p, q) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。 扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。 下面是一个使用C++的实现：（拓展欧几里得算法的时间复杂度跟gcd()欧几里得算法复杂度是一样的）

int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
 	int ret, tmp;
	  if (!b)
	  {
		  x = 1; y = 0;  return a;
	  }
	  ret = extended_gcd(b, a % b, x, y);
 	  tmp = x;
	  x = y;
	  y = tmp - a / b * y;
      return ret;
}

以下这一小段蓝色的只是证明过程，看不太懂的可以过……记住公式，懂得如何用就行。 把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。 可以这样思考: 对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b') 由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法) 那么可以得到: a'x + b'y = Gcd(a', b') ===> bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b) 因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y) 重点：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法 对于不定整数方程ax+by=c； 判断是否有解： 若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。 解不定方程ax+by=c； 解这个不定方程可以用扩展欧几里德算法。 对于不定方程ax+by=c的通解为： x=x0*c/d+b/d*t y=y0*c/d+a/d*t 当c%gcd(a,b)!=0时,不定方程无解. 剩下需要做的就是用x=x0*c/d+b/d*t 求出一个最小的正整数x, 得到的x0,y0有可能是负值，（如果你要求x0,y0的最小正值）这个时候，就需要用到上面的两条式子来求，用while来判断所得的x是否大于0就可以了。 上个用来求二元不定方程的extended gcd模板：

#include
using namespace std;
int extended_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
 	int ret, tmp;
	  if (!b)
	  {
		  x = 1; y = 0;  return a;
	  }
	  ret = extended_gcd(b, a % b, x, y);
 	  tmp = x;
	  x = y;
	  y = tmp - a / b * y;
      return ret;
} 

int main()
{
	int a,b,x,y,cas;
	scanf("%d",&cas);
	while(cas--)
    {
		scanf("%d%d",&a,&b);
		int gc=extended_gcd(a,b,x,y);//这里的x,y在函数中是最为被引用的参数，所以函数结束，x,y的值就改变了，就是x0,y0

   }
	return 0;
}