目录
EM算法（4）：EM算法证明
1. 概述
上一篇博客我们已经讲过了EM算法，EM算法由于其普适性收到广泛关注，高频率地被运用在各种优化问题中。但是EM算法为什么用简单两步就能保证使得问题最优化呢？下面我们就给出证明。
2. 证明
现在我们已经对EM算法有所了解，知道其以两步（E-step和M-step）为周期，迭代进行，直到收敛为止。那问题就是，在一个周期内，目标函数的值是否增加了？如果能保证其每个周期都在增加的话，那么其必然收敛到一个局部最大值处。这就是我们EM算法所需要证明的，即：
$p(mathbf{X}; heta^{(i+1)}) geqslant p(mathbf{X}; heta^{(i)})$
首先假设Y的分布为$q(mathbf{Y})$，则有$sum_Yq(mathbf{Y}) = 1$，则：
现在假设在EM算法第i个周期结束，因为KL(q||p)不小于零，那么其最小时就为0，即$q(mathbf{Y})=p(mathbf{Y}|mathbf{X}, heta^{(i)})$时。
在E-step时，我们计算$Q( heta^{(i+1)}| heta^{(i)})$，我们发现：
在M-step时，我们找到一个$ heta^{(i+1)}$，使得$Q( heta| heta^{(i)})$最大，即也是使得$mathcal{L}(q| heta)$最大。同时，因为此时$p(mathbf{X,Y}| heta^{(i+1)}) eq p(mathbf{X,Y}| heta^{(i)}) = q(mathbf{Y})$，那么KL(q||p)也会大于零。那么相对于第i个EM周期结束时的目标函数的值，现在其两个和项的值都是非减的，那么很容易得到：
$p(mathbf(X)| heta^{(i+1)}) geqslant p(mathbf{X}| heta^{(i)})$