【笔记】单层感知机

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Preface

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这是单层感知机。多层感知机（MLP）在路上了，等一等（

为了好看，转置记作 (dagger)（dagger）

EDIT：这个符号实际上是伪逆矩阵（Moore-Penrose Inverse）的符号。我在这里就暂且误用一下吧，不改了

一些证明暂时不打算做，具体的代码实现也会先鸽着
就大大概概讲一讲。然后上支持向量机。

很抱歉本文没有配图，不过可以自行想象
二维平面上图大概这样吧
∵·　 ·∵
∵∴　 ··∴
∵∴···　
总而言之感知机挺好理解的，单层感知机更好理解。。

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基本概念

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感知机是二分类模型、线性分类器。
处理线性可分的数据集。

超平面：(n) 维欧氏空间中，余维度为 (1) 的线性子空间（经过原点）
其中 (n>3)。

感知机学习目标是：一个将 被感知数据集 划分为两类的分离超平面。
输入 被感知数据集的特征向量，得到输出：数据集的类别（一般是 +1 或 -1）。

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模型

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模型：

[f(x)=operatorname{sign}(oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x+b) ]

其中 (oldsymbolomega) 为权值向量，(b) 为偏置，(x) 为输入，(f(x)) 为输出。

超平面：

[oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x+b=0 ]

样本点 (oldsymbol x') 到该超平面距离：

[d=frac{oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x'+b}{|oldsymbolomega|} ]

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损失函数

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感知机的优化目标：正确分类（就是让所有点不要被误分类）
对于一个线性可分的数据集，这是可以做到的。

记 所有点 的集合为 (f M_u)
记 被误分类的点 的集合为 (f M)（随着超平面调整会变化）
令 (y_i=f(oldsymbol x_i))，那么

插播一个无关紧要的定义，几何间隔：

[y_icdotfrac{oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x_i+b}{|oldsymbolomega|} ]

函数间隔：

[y_icdot(oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x+b) ]

损失函数如果用 误分类点到超平面距离和 定义，就是

[L(oldsymbolomega,b)=sumlimits_{x_iinf M}left|y_icdotfrac{oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x_i+b}{{|oldsymbolomega|}} ight|=-sumlimits_{x_iinf M}y_icdotfrac{oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x_i+b}{{|oldsymbolomega|}} ]

优化目标是让它等于零。但是没有必要这么定义。

实际上呢，因为 (oldsymbolomega) 在优化过程中随超平面调整而变化，
考虑到感知机只是想要正确分类而已，不妨更直接地令

[L(oldsymbolomega,b)=-sumlimits_{oldsymbol x_iinf{M}_{ iny{u}}}y_i(oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x_i+b) ]

让这东西小于零就好了，
也可以记成把那个 (f{M}_{ iny{u}}) 换成 (f M) 然后让 (L(oldsymbolomega,b)) 归零，不过上面那个是这个的充分条件

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优化

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那只要让误分类点变成正确分类点就可以了

根据判定条件，也就是令误分类点的函数间隔（误分类点是小于 (0) 的，正确分类的点是大于 (0) 的）变大。
沿梯度方向即可。

所以，具体地：不妨任意选择一个初始超平面（即选定 (oldsymbolomega_0) 和 (b_0) 作为初始值）
然后极小化损失函数：让误分类点梯度下降。

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收敛性：Novikoff定理简介

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就是，用这种损失函数，经过有限次迭代可以得到将（线性可分的）训练集完全正确划分的分离超平面和模型。
很抱歉但是我想要略过证明，直接上复杂度

为了方便，把偏置跟权重放一起。记

[hat{oldsymbolomega}=(oldsymbolomega^dagger,b)^dagger ]

相应地，令

[hat{oldsymbol x_i}=(oldsymbol x_i^dagger,1)^dagger ]

那么，

[hat{oldsymbolomega}cdothat{oldsymbol x_i}=oldsymbolomega^daggercdot oldsymbol x+b ]

令

[R=maxlimits_{oldsymbol x_iinf{M}_{ iny{u}}}|hat{oldsymbol x_i}| ]

那么误分类次数 (k) 满足

[kleleft(frac{R}{gamma} ight)^2 ]

综上所述，
约定 (mathbb{R^n}) 表示 (n) 维向量空间。那么，可以给出
Theorem 1(Novikoff)　Consider a training sequence

[T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_N,y_N)} ]

线性可分。其中，

[x_iinmathcal{X}=mathbb{R^n},quad y_iinmathcal{Y}={-1,+1},quad i=1,2,cdots,n ]

则① 存在分离超平面

[hat{oldsymbolomega}cdothat{oldsymbol x_i}=0,quad s.t.;|hat{oldsymbolomega}|=1 ]

　　 使数据集中所有点均被正确分类；

　② 并且

[kleleft(frac{R}{gamma} ight)^2 ]

。

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Novikoff定理的证明