先来一个随机变量吧
[X
]
我们知道它的期望
[E[X]=mu
]
现在你对它的方差突然很感兴趣
那按理来说你本应这么求
[sigma^2=E[(X-mu)^2]
]
你理所当然地求不了。
好耶ヽ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ
啊啊。
不过还可以估计。
直觉来说吗，我们会觉得可以这样
[s^2=E[(X-overline{X})^2]=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^n(X_i-overline{X})^2
]
实际上呢，平均值跟期望往往不太一样。这会对方差和我们的估计值产生怎样的影响呢？
嗯……
[sumlimits_{i=1}^n(X_i-overline{X})^2le sumlimits_{i=1}^n(X_i-mu)^2
]
从数学的角度考虑这是一个非常显然的结果。
那，
[s^2le sigma^2
]
怎么办呢。
机智的某某某把 (s^2) 的分母改成了 (n-1) 就得到了样本方差 (S^2)
实际上
[E[s^2]=Eleft[frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^nleft((X_i-mu)-(overline{X}-mu)
ight)^2
ight]=cdots=Eleft[frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^n(X_i-mu)^2
ight]-Eleft[(overline{X}-mu)^2
ight]
]
也就是说
[E[s^2]=sigma^2-E[(overline{X}-mu)^2]
]
嗯？怎么继续化呢
首先，我们注意到
[E[overline{X}]=Eleft[frac{sumlimits_{i=1}^nX_i}{n}
ight]=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^nE[X_i]=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^nmu=mu
]
你会发现一个很有趣的事实
[E[(overline{X}-mu)^2]=Eleft[(overline{X}-E[overline{X}])^2
ight]=Var(overline{X})=cdots=frac{sigma^2}{n}
]
于是
样本方差
[S^2=frac{1}{n-1}sumlimits_{i=1}^n(X_i-overline{X})^2
]
可以证得
[E[S^2]=sigma^2
]