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学会了前两个背包 , 学这个背包还是很轻松的 。
多重背包 , 顾名思义 , 就是前两种背包结合到一起 , 首先还是用一个例子说明 。
1、问题描述
已知:有一个容量为V的背包和N件物品,第i件物品最多有Num[i]件,每件物品的重量是weight[i],收益是cost[i]。
问题:在不超过背包容量的情况下,最多能获得多少价值或收益
多重背包 区别于二重背包的地方就在于 所给出的物品数是有限的 。
用二维数组写出代码 :
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std ; #define Max(a,b) a>b?a:b #define Min(a,b) a>b?b:a int dp[100][1000] ; int weight[10] ; int value[10] ; int num[10] ; int main ( ) { int n , v ; cin >> n >> v ; for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) { cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i] ; } for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) { for ( int j = weight[i] ; j <= v ; j++ ) { int f = Min ( num[i] , j / weight[i] ) ; for (int k = 1 ; k <= f ; k*=2 ) { // 三层 for , 最内层的for 用来进行在进行在 每种物品的每种体积下,一直放入同一种物品
// 此处有一个小的优化 , 就是我每种物品的数量通过 1、2、4、8、16……2^k 来控制 dp[i][j] = Max ( dp[i-1][j] , dp[i-1][j-k*weight[i]]+k*value[i] ) ; // cout << dp[i][j] << ' ' ; } } // cout << ' ' ; } cout << dp[n][v] << endl ; return 0 ; }
上述的优化方法就采用了二进制的思想
对每件物品拆分 , 拆分的数量可以是 1件 、 2件 、 4件 ……2^k 件,并且要保证 2^k <= num[ i ] ,但是这里的最后一件是 num[ i ] - 前面所有物品的和 , 那么对 num[ i ] 来说 , 就一定会有前面的 数相加等于 num[ i ] ,其实这样对物品拆分 , 在取得话 , 就可以看成每件新拆分出的物品只有一件 , 进而不就转换成 01背包了吗 ,一定要注意领悟这个拆分的思想 , 是讲背包的物品总数分解开 。
优化 :
说到拆分 , 有种情况是不用拆分的 , 就是当 weight[ i ] * num[ i ] >= v ,因为这种情况就可以理解成物品的数量充足 ,那么不就转化成 完全背包的情况吗 ? 直接就会被优化到 O(v*n) 。
对于不满足完全背包情况的物品进行拆分 , 此时物品的个数就没有对所有物品进行拆分的个数多 , 那么循环的次数就会降下来 , 复杂度也就降低了 。
代码示例 :
#include <iostream> using namespace std; const int N = 3;//物品个数 const int V = 8;//背包容量 int Weight[N + 1] = {0,1,2,2}; int Value[N + 1] = {0,6,10,20}; int Num[N + 1] = {0,10,5,2}; int f[V + 1] = {0}; /* f[v]:表示把前i件物品放入容量为v的背包中获得的最大收益。 f[v] = max(f[v],f[v - Weight[i]] + Value[i]); v的为逆序 */ void ZeroOnePack(int nWeight,int nValue) { for (int v = V;v >= nWeight;v--) { f[v] = max(f[v],f[v - nWeight] + nValue); } } /* f[v]:表示把前i件物品放入容量为v的背包中获得的最大收益。 f[v] = max(f[v],f[v - Weight[i]] + Value[i]); v的为增序 */ void CompletePack(int nWeight,int nValue) { for (int v = nWeight;v <= V;v++) { f[v] = max(f[v],f[v - nWeight] + nValue); } } int MultiKnapsack() { int k = 1; int nCount = 0; for (int i = 1;i <= N;i++) { if (Weight[i] * Num[i] >= V) { //完全背包:该类物品原则上是无限供应, //此时满足条件Weight[i] * Num[i] >= V时, //表示无限量供应,直到背包放不下为止. CompletePack(Weight[i],Value[i]); } else { k = 1; nCount = Num[i]; while(k <= nCount) { ZeroOnePack(k * Weight[i],k * Value[i]); nCount -= k; k *= 2; } ZeroOnePack(nCount * Weight[i],nCount * Value[i]); } } return f[V]; } int main() { cout<<MultiKnapsack()<<endl; system("pause"); return 1; }