【洛谷1044】栈

原题：

 n<=18

性质 1 ：

观察发现，栈里的数的顺序一定等同它们在原序列的顺序

这个易证

这道题的原序列是递增的，所以栈里的数列也是递增的

因此可以设计状态，f [ i ] [ j ] 表示原序列还有 i 个数，栈内数的集合为 j（ j 是二进制压位数）的出栈数列方案数

n 很小，二进制压位就可以做了

但是实际上这道题还有更简单的做法，f [ i ] [ j ] 表示 i 个数没进过栈，j 个数在栈里的方案数

这个做法正确是因为

性质 2 ：

对于同一个初始序列，且初始序列中的数各不相同，压栈弹栈的操作序列与最终的结果序列是意义对应的

即不存在两种不同的操作序列，使得它们排序的结果相同

证明思路：

对于一个操作序列 s ，以及一个出栈序列 t ，尝试找出另一个操作序列，使得出栈序列等于 t

对于 t 中第一个数，由于本题中只能栈前进栈后出，所以若想让出栈序列第一个数和 t 的第一个数相等

必须执行和 s 对应部分相同的操作

剩余部分容易由归纳法类似证明

第三种做法是使用卡塔兰数

洛谷题解第一个讲得很好很清楚，我就不再造轮子了

 其实是之前根本不会卡塔兰数，这里学习一个 =。=

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int f[19][262144];
int n;
int main(){
    cin>>n;
    f[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=n;++i)for(int j=(1<<n)-1;j>=0;--j)if(f[i][j]){
        if(i!=n){
            f[i+1][j|(1<<i)]+=f[i][j];
        }
        if(j!=0){
            int k=0;
            for(k=0;k<n;++k)if(j&(1<<k))  break;
            f[i][j^(1<<k)]+=f[i][j];
        }
    }
    cout<<f[n][0]<<endl;
    return 0;
}

UPD：

2020.9.26发现以前写得有点小问题，放一下更严谨的给洛谷写的ppt里关于这题的解法