动态规划与贪心算法_剪绳子问题

问题：

给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m≥1）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]*k[1]*…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

求解：

1.动态规划
求一个问题的最优解（最大值或最小值），而且该问题能够分解成若干子问题，并且子问题之间还有重叠的更小的子问题，可以考虑动态规划
（1） 分析是否能把大问题分解成小问题
（2） 分解后的每个小问题存在最优解
（3） 小问题的最优解组合起来能得到整个问题的最解

2.贪心算法求解：
每一步都可以做出一个贪婪的选择，基于这个选择，确定能够得到最优解
1． 贪心算法在对问题求解时，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解
2． 选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关
3． 题目贪心策略：当n>=5时，尽可能多地剪长度为3的绳子；当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子

 

1.首先用动态规划递归实现，动态规划实际上就是用空间效率换区时间效率的一种做法：

public class Test {
    public static int getMax(int n){
　　　　 //要求长度n>1,所以这里返回0表示输入非法 
        if(n<2){
            return 0;
        }
　　　　 //长度为2时,要求剪下段数m>1,所以最大是1x1=1 
        if(n==2){
        　　return 1;
        }
　　　　 //长度为3时,要求剪下段数m>1,所以最大是1x2=2
        if(n==3) {
            return 2;
        }
        //存储长度从 0-n 的最大结果
        int[] result=new int[n+1];
        result[0]=0;
        result[1]=1;
        result[2]=2;
        result[3]=3;
        //自底向上开始求解
        int max=0;
        for(int i=4;i<=n;i++){
　　　　　　 //每次将最大乘积清空
            max=0;
 　　　　　　//因为要计算f(j)乘以f(i-j)的最大值,j超过i的一半时是重复计算，所以只需要考虑j不超过i的一半的情况
            for(int j=1;j<=i/2;j++){
　　　　　　　　　//计算f(j)乘以f(i-j)
                int tempResult=result[j]*result[i-j];
                if(max<tempResult) {
                    max = tempResult;
                }
　　　　　　　　　//更新表中的f(i)=max(f(j)·f(i-j))
                result[i]=max;
            }
        }
        max=result[n];
        return max;
    }

}

2.采用贪心算法得到最优解：

public static int getMaxValue(int n){
    if(n<2) {
        return 0;
    }
   if(n==2) {
        return 1;
    }
    if(n==3) {
        return 2;
    }
    //先求出长度为3的段一共有多少段
    int countOfThree=n/3;
    //再看除了长度为3的段，还剩下多少米，如果还剩1米则表示有(n-1)个3和一个4，
    // 所以要把上一步算出来的3的个数减1，把最后的4剪成两段长度为2的绳子
    if(n-countOfThree*3==1){
        countOfThree-=1;
    }
    //当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子
    int countOfTwo=(n-countOfThree*3)/2;
    //计算所有的3的countOfThree次方，再乘以剩下2的countOfTwo次方
    return (int) ((Math.pow(3, countOfThree))*(Math.pow(2, countOfTwo)));
}