【转】素数基础篇 之 素数的判断 czyuan原创

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难得的写的很全面的素数的判断，赞czyuan大神～高消的模板也是广为流传啊

素数：只有两个正因数（1和自己）的自然数。素数，作为数论中最基础的理论之一，又是许多著名定理的根源。

几个可以无视的性质：
1. 1不是素数
2. 除了2以为所有偶数都是合数。
提高素数，第一反应都会是如果判断素数，找到我们想要的素数。这里列举几种最常用的判断素数的方法。

1. 朴素判别素数
　 简述：即判断一个数N是不是素数，只需要判断从2到N^0.5的数是否能整除N，如果能则不是素数，否则就是素数。
　 代码：(无视之...)
　 评价：从定义出发，简单易懂，适合初初初学者，但要理解上限为啥是N^0.5。

2. 朴素筛法
    简述：筛法的原理这里就不赘述了，思想就是去掉当前的素数的倍数(因为他们一定是合数)。
    代码：
const int maxn = 10000000;
bool IsNotPrime[maxn]; // 判断是否为素数.

void PrimeNormal(void)
{ // 朴素的筛法. 10000000内0.7s出解.
     int i, j;
     memset(IsNotPrime, 0, sizeof(IsNotPrime)); // 初始赋值所有数都是素数.
     IsNotPrime[1] = 1; IsNotPrime[0] = 1; // 0和1不是素数.
     for (i = 2; i < maxn; i++)
     {
         if (!IsNotPrime[i])
         { // 注意：这里只用素数来筛，因为合数筛时肯定被素数筛过了，所以没必要.
            if (1LL * i * i > 1LL * maxn) continue;
            for(j = i * i; j < maxn; j += i) IsNotPrime[j] = 1;
          }
     }
}

     评价：相对朴素的判断素数，速度上有了质的飞跃，但是仍有些素数的性质没有用上，导致速度不够理想。
     优化：我们可以在朴素筛法上做些显而易见的优化：用到前面提到的可以无视的性质，我们可以把除了2以外的偶数提前判断，这样只要循环奇数即可。

3. 线性筛法
    简述：朴素筛法虽然是筛素数的倍数，但是所有倍数都要筛过去，这是完全没必要的。
    我们可以利用，每个合数必有一个最小质因数，每个合数仅被它的最小质因数筛去正好一次这个性质来优化筛法.
    代码：
const int maxn = 10000000;
bool IsNotPrime[maxn]; // 判断是否为素数.
int PrimeList[maxn]; // 素数列表.
int PrimeNum;

void Prime_Linear(void)
{ // 速度比朴素筛法快2倍以上，该筛法进行稍微修改即可用于求欧拉函数Phi[].
     int i, j;
     memset(IsNotPrime, 0, sizeof(IsNotPrime)); // 初始赋值所有数都是素数.
     IsNotPrime[1] = 1; IsNotPrime[0] = 1; // 0和1不是素数.
     for (i = 4; i < maxn; i += 2) IsNotPrime[i] = 1; // 除2以外的所有偶数都不是素数.
     PrimeNum = 0;
     for (i = 3; i < maxn; i += 2)
     {
         if (!IsNotPrime[i])
          { // 如果是素数则加入素数列表.
             PrimeList[PrimeNum++] = i;
         }
            // 注意：这里与朴素筛法不同，即使合数也要进行筛.
           // 因为这里素数只筛它的素数倍，那么有些合数就可能没被筛掉.
           // 而这些合数就需要合数来晒，而且只要筛到它的最小质因子倍即可(想想为什么?).
       for (j = 0; j < PrimeNum && i * PrimeList[j] < maxn; j++)
       {
              IsNotPrime[i * PrimeList[j]] = 1;
             if (i % PrimeList[j] == 0)
              { // 说明PrimeList[j]是i的最小质因子，即i * PrimeList[j]的最小质因子，则跳出.
                  break;
              }
        }
     }
}
    评价：该筛法利用了每个合数必有一个最小质因数，素数只晒素数倍，合数筛到最小质因子倍，复杂度是线性的.

4. 区间筛素数
    简述：有的时候，我们需要知道某个特定区间的素数(区间大小较小，但数可能很大)。
    那么数组就开不下，这时候我们仍然可以使用筛法，只是所有的下标都进行了偏移。
    大家理解下面这段代码可以先用普通筛法写，然后数组下标集体移动即可。

const int maxn = 100000;

int PrimeList[maxn];
int PrimeNum;
bool IsNotPrime[maxn]; // IsNotPrime[i] = 1表示i + L这个数是素数.

void SegmentPrime(int L, int U)
{ // 求区间[L, U]中的素数.
     int i, j;
     int SU = sqrt(1.0 * U);
     int d = U - L + 1;
     for (i = 0; i < d; i++) IsNotPrime[i] = 0; // 一开始全是素数.
     for (i = (L % 2 != 0); i < d; i += 2) IsNotPrime[i] = 1; // 把偶数的直接去掉.
     for (i = 3; i <= SU; i += 2)
     {
           if (i > L && IsNotPrime[i - L]) continue; // IsNotPrime[i - L] == 1说明i不是素数.
           j = (L / i) * i; // j为i的倍数，且最接近L的数.
           if (j < L) j += i;
           if (j == i) j += i; // i为素数，j = i说明j也是素数，所以直接 + i.
          j = j - L;
          for (; j < d; j += i) IsNotPrime[j] = 1; // 说明j不是素数(IsNotPrime[j - L] = 1).
     }
     if (L <= 1) IsNotPrime[1 - L] = 1;
     if (L <= 2) IsNotPrime[2 - L] = 0;
     PrimeNum = 0;
     for (i = 0; i < d; i++) if (!IsNotPrime[i]) PrimeList[PrimeNum++] = i + L;
}

5. Miller_Rabin
简述：很数论的一种方法，需要费马小定理，还要a ^ b的快速幂，还要注意Carmicheal number.
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int Modular_Exponent(int a, int b, int MOD)
{ // a ^ b mod MOD.
     int temp(1);
     int aa(a);
     while (b)
     {
          if (b & 1) temp = 1LL * temp * aa % MOD;
          aa = 1LL * aa * aa % MOD;
           b >>= 1;
     }
     return temp;
}

// Carmicheal number: 561,41041,825265,321197185
bool Miller_Rabin(int n, int time = 20)
{ // 如果是素数，则返回1，否则返回0.
   if (n == 1 || (n != 2 && !(n % 2)) || (n != 3 && !(n % 3))
   || (n != 5 && !(n % 5)) || (n != 7 && !(n % 7)))
    return 0;
   while (time--)
     {
           if (Modular_Exponent(((rand() & 0x7fff << 16) +
          rand() & 0x7fff + rand() & 0x7fff) % (n-1) + 1, n - 1, n) != 1)
     return 0;
     }
   return 1;
}

评价：解决了筛法需要连续性判素数的确定，可以在很高概率(多次判断，实际效果很好)判断出素数.

6. 筛法的额外用途：求每个数的最小质因数
简述：原理与筛法相通，只是factor存的是最小质因数，为0当然就是素数啦.
void PrimeFactor(void)
{ // 求每个数最小的质因数.
     int i, j;
     mem(factor, 0);
     factor[1] = 1; factor[0] = 1; // 0和1不是素数.
     PrimeNum = 0;
     for (i = 2; i < maxn; i++)
     {
           if (!factor[i]) PrimeList[PrimeNum++] = i;
          for (j = 0; j < PrimeNum && i * PrimeList[j] < maxn
          && (PrimeList[j] <= factor[i] || factor[i] == 0); j++)
          {     // 当PrimeList[j] > factor[i] && factor[i] != 0时，那么最小质因数为factor[i].
               // PrimeList数组中的素数是递增的, 当i % PrimeList[j] == 0时，就break，理由同上面的线性筛法.
             factor[i * PrimeList[j]] = PrimeList[j];
             if (i % PrimeList[j] == 0) break;
          }
     }
//    cout << PrimeNum << endl;
}
评价：该方法使用十分巧妙，可以快速地一个数的质因数个数，强烈推荐～～

7. java大数素数判断
简述：此方法极度猥琐...话说导致09年合肥站regional的一堆杯具...
函数：IsProbablePrime(int certainty)
评价：可以用来判断大数是否为素数。

以上总结了素数的一些常用的判断方法及用途，素数的判断，特别是大素数的判断一直是数论未能突破的地方。
本文仅是抛砖引玉，供大家讨论素数的相关理论～～

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