【Luogu】P2155沙拉公主的困惑（数论）

　　题目链接

　　数论果然是硬伤qwq　　还是智商上的硬伤

　　我们来讲两个道理

　　No.1　　求1~i！中与i！互质的数的个数

　　实际上就是求i!的欧拉函数

　　有如下递推式：

　　f[1]=1

　　if(i为合数)　　f[i]=f[i-1]*i;

　　if(i为素数)　　f[i]=f[i-1]*(i-1);

　　证明如下

　　首先我们有个神奇引理。叫做：如果n=p1^a1*p2^a2*………………*pk^ak是n的素数幂乘积表达式，那么有

　　$phi[n]=n*frac{p1-1}{p1}*frac{p2-1}{p2}*……*frac{pk-1}{pk}$

　　所以说我们的$phi[n!]=n!*frac{p1-1}{p1}*frac{p2-1}{p2}*……*frac{pk-1}{pk}$

　　那么首先我们知道n!是从1乘到n（废话）

　　那么注意（敲黑板）phi[n]的质因子就是1到n里的质数对不对

　　我们现在就把所有的分母约掉

　　所以phi[n]就变成了(所有合数的乘积)*(所有质数-1的乘积)

　　于是递推式得证

　　然后第二个问题，就是如果gcd(a,b)==1，那么gcd(a*k+b,b)=1

　　这个东西有什么用呢？

　　我们设n!为mul[n]。

　　由于n>=m，所以mul[n]>=mul[m]，并且mul[n]一定是mul[m]的整数倍。

　　这样我们发现$mul[n]=mul[m]*frac{mul[n]}{mul[m]}$

　　所以说1到mul[n]中和mul[m]互质的，就等于1~mul[m]中与mul[m]互质的，再乘上$frac{mul[n]}{mul[m]}$

　　然后逆元乱搞搞就好了qwq

　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define maxn 10000020

inline long long read(){
    long long num=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

bool s[maxn];
int prime[maxn],tot;
int mul[maxn];
int f[maxn];

long long Pow(long long n,int x,int p){
    long long ans=1;
    while(x){
        if(x&1)    ans=(ans*n)%(long long)p;
        n=(n*n)%(long long)p;
        x>>=1;
    }
    return ans;
}
        

int main(){
    int T=read(),p=read();
    s[1]=mul[1]=f[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;++i){
        if(!s[i])
            prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&(long long)prime[j]*i<=maxn;++j){
            s[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j]))    break;
        }
    }
    for(int i=2;i<=maxn;++i){
        mul[i]=((long long)mul[i-1]*(long long)i)%(long long)p;
        if(s[i])    f[i]=((long long)f[i-1]*(long long)i)%(long long)p;
        else         f[i]=((long long)f[i-1]*(long long)(i-1))%(long long)p;
    }
    while(T--){
        int n=read(),m=read();
        printf("%lld
",(long long)(((long long)f[m]*(long long)mul[n])%(long long)p*Pow(mul[m],p-2,p))%p);
    }
    return 0;
}