【Luogu】P3343地震后的幻想乡（对积分概率进行DP）

　　题目链接

　　神难qwq。配合rqy的博客食用。

　　首先我们学到有一个概率函数$p(x)$表示某事件发生概率取值小于x的函数。这个函数有什么特点呢？

　　那就是$int_{-∞}^{∞}p(x)dx=1$

　　这个是显然的

　　然后我们令p(x)为首次联通的时间的概率分布函数

　　这其实等价于生成树的最大权边等于x的概率，对不对（我虚啊，我很可能理解错的）

　　然后呢，就有一个期望的式子

　　$EX=int tp(t)dt$

　　我忘了是为什么了（上午rqy才刚给我讲过，现在就忘了），我太菜了。

　　然后本题中，期望就是$EX=int_{0}^{1}xp(x)dx$

　　$=int_{0}^{1}p(x)( int_{0}^{x}1ds)dx$

　　$=int_{0}^{1}(int_{s}^{1}p(x)dx)ds$

　　然后我们把括号里面那个玩意设成P(s)好了

　　所以原式被我们化成了$int_{0}^{1}P(s)ds$

　　然后……emm等一会我忘了我要干嘛了qwq

　　……
　　然后我们设一个$f_{x,S}$表示集合S（S包含1节点）在x时刻前不连通，x时刻恰好联通的概率

　　因为在x时刻不连通，所以我们考虑它的转移

　　$f_{x,S}=sumlimits_{1属于S'}^{S'包含于S}(1-f_{x,S'})(1-x)^{T(S',S-S')}$

　　这什么意思呢？

　　我们设T(A,B)为A点集和B点集之间的边数。

　　首先我们看见里面有一个$(1-f_{x,S'})$，这个玩意的意思是

　　既然我们的S集合要恰好联通，那在这之前S'作为S的一个子集是一定要联通的。而f表示的是不连通的概率，所以就是1-x呗。

　　而且S'和外界不要联通。

　　既然S和外界不要联通，那每条边在x时刻不连通的概率是(1-x)，那T条边都不连通的概率就是$(1-x)^{T(S',S-S')}$

　　所以说$f_{x,S'}$就是这么一个玩意儿。

　　然后我们把x当成参，就有了$f_{S'}(x)$这么一个东西。

　　然后……比如说有个全集U

　　最后我们求的就是这么一个玩意

　　$int_{0}^{1}f_{U}(x)dx$

　　然后下面的我就全忘了，顺着rqy的笔迹讲，不过我自己也看不懂是在干嘛qwq

　　我们设$dp_{S,k}=int_{0}^{1}f_{S}(x)(1-x)^{k}dx$

　　$=int_{0}^{1}(sumlimits_{1属于S'}^{S'包含于S}(1-f_{S'}(x))(1-x)^{T(S',S-S')})(1-x)^{k}dx$

　　设t=T(S',S-S')

　　$dp_{S,k}=sumlimits_{1属于S'}^{S'包含于S}int_{0}^{1}(1-f_{S'}(x))(1-x)^{t+k}dx$

　　$=sumlimits_{1属于S'}^{S'包含于S}int_{0}^{1}(1-x)^{t+k}-f_{S'}(x)(1-x)^{t+k}dx$

　　我们发现后面那个玩意等于$dp_{S',t+k}$

　　就可以搞啦。至于k到底干嘛的，rqy说不表示实际意义，只是用来简化计算，我没听懂。qwq

　　最后求的答案就是$dp_{U,0}$

　　然后就是递归搞一搞DP输出。

　　（当然到考场上如果碰到这道题我倾向于手玩。智商-INFqwq。）

　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define maxn 11
#define maxm 55
inline long long read(){
    long long num=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

double f[1<<maxn][maxm];
int q[1<<maxn][1<<maxn];
bool vis[1<<maxn][maxm];

double dfs(int state,int t){
    if(state==1)    return 0;
    if(vis[state][t])    return f[state][t];
    vis[state][t]=1;
    double &ans=(f[state][t]=.0);
    for(int sta=(state-1)&state;sta!=state;sta=(sta-1)&state)
        if(sta&1){
            ans+=1.0/(t+q[sta][state&(~sta)]+1);
            ans-=dfs(sta,t+q[sta][state&(~sta)]);
        }
    return ans;
}

int main(){
    int n=read(),m=read();
    int Max=1<<n;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int a=read(),b=read();
        a--;b--;
        for(int sta=0;sta<Max;++sta){
            if(((sta>>a)&1)==0)    continue;
            for(int stb=0;stb<Max;++stb){
                if(((stb>>b)&1)==0)    continue;
                q[sta][stb]++;    q[stb][sta]++;
            }
        }
    }
    printf("%.6lf",dfs(Max-1,0));
    return 0;
}