自由树的计数 Labeled unrooted tree counting

问题：

      4个标记为1,2,3,4的节点构成自由树（算法导论里的定义，连接着，无环，无向的图），一共有多少种构造方法？如果N个节点呢？

解决方法：

     4个节点可以通过穷举的方式得到答案，一共有16中方式。

　　第一类构造方式，取一个节点做中心，剩余三个节点与其相连，一共4种（每个节点做一次中心）。

　　第二类构造方式，四个节点连成一条线，可以看成个排列，第一个有4种取法，第二个有3种，依次类推。但是因为例如1234与4321结构上是一样的，

所以总的排列数除以2才是总共的构造数，即 $frac{4！}{2}$。（这个是基本的排列知识）

　　

              图片来源

　　下面讲解其中的一种Prufer Code 解法。

　　它的思想就是计数里或者其他场合经常出现的——一对一映射的方法。每一颗自由树对应一个Prufer Code, 每一个Prufer Code对应一颗自由树。

这样计算Prufer Code的个数就得到了自由树的个数。

　　先给出公式， 自由树的总个数为$T(N) = N^(N-2)$

　　参考资料

1. Prüfer_sequence

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