结论积累中！

感谢鹏神，因为好多都是借鉴他的昂！

球冠、球缺（图自百度百科）：

球冠体积：S=2πR^2(1 - sinθ)=2πRH

球缺体积：V=（π/3)*(3R-H)*H^2

快速读入与快速输出：

inline int read(){
    int x=0,d=1;
    char c=getchar();
    while((c>'9'||c<'0')&&c!='-')c=getchar();
    if(c=='-')d=-1;
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*d;
}

inline void write(int num){
    if(num>9)write(num/10);
    putchar(num%10+'0');
}

组合数打表：

void init(){
    for(int i=0;i<=500;++i){
        for(int j=0;j<=i;++j){
            C[i][j]=(i==0||j==0)?1:(C[i-1][j]+C[i-1][j-1]);
        }
    }
}

预处理阶乘以及其逆元（QP是快速幂）、并计算组合数C(n,m)：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=1e6 + 35;
const int mod=1e9+7;

ll A[maxn+5],AA[maxn+5];        //A是阶乘数组，AA是阶乘逆元数组

ll QP(ll a,ll n){
    ll ans = 1 ,tmp = a;
    while(n){
        if(n&1)ans = ans * tmp % mod;
        tmp = tmp * tmp % mod;;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

void init(){
    A[0]=1;
    for(int i=1;i<=maxn;++i)A[i]=A[i-1]*i%mod;
    AA[maxn]=QP(A[maxn],mod-2);
    for(int i=maxn;i>=1;--i)AA[i-1]=AA[i]*i%mod;
}

ll C(int n,int m){
    return A[n] * AA[n-m] % mod * AA[m] % mod;
}

内联汇编快速乘法：

inline ll mulmod(ll x, ll y, ll mod)
{
    ll ans=0;
    __asm__("movq %1,%%rax
 imulq %2
 idivq %3
":"=d"(ans):"m"(x),"m"(y),"m"(mod):"%rax");
    return ans;
}

约瑟夫环问题：

约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后结果+1即为原问题的解。

#include <iostream>
#include <list>
using std::cout;
using std::endl;
using std::cin;
using std::list;
 
int main(){
    int total  = 0;
    cout << "Please input total number of people : ";
    cin >> total;
    int number = 0;
    cout << "Please input selected number : ";
    cin >> number;
    /* If number = 3
     * f(1) = 0
     * f(2) = 1 = (f(1) + 3) % 2
     * f(3) = 1 = (f(2) + 3) % 3
     * f(4) = 0 = (f(3) + 3) % 4
     * f(5) = 3 = (f(4) + 3) % 5
     * ...
     * f(n) = x = (f(n-1) + 3) % n
     * */
    int last = 0; // f(1) = 0
    for(int i = 2; i <= total; ++i){
        last = (last + number) % i;
    }
    cout << "The last one is : " << last + 1 << endl;
    return 0;
}

五边形数（数字拆分）：

题意：问一个数n能被拆分成多少种方法，且每一种方法里数字重复个数不能超过k（等于k）。

分析递推式为：

 

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;

const int N=100005;
const int MOD=1000000007;

int dp[N];

void Init(){
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        dp[i]=0;
        for(int j=1;;j++){
            int t=(3*j-1)*j/2;
            if(t>i)break;
            int tt=dp[i-t];
            if(t+j<=i)tt=(tt+dp[i-t-j])%MOD;
            if(j&1)dp[i]=(dp[i]+tt)%MOD;
            else dp[i]=(dp[i]-tt+MOD)%MOD;
        }
    }
}

int Work(int n,int k){
    int ans=dp[n];
    for(int i=1;;i++){
        int t=k*i*(3*i-1)/2;
        if(t>n)break;
        int tt=dp[n-t];
        if(t+i*k<=n)tt=(tt+dp[n-t-i*k])%MOD;
        if(i&1)ans=(ans-tt+MOD)%MOD;
        else ans=(ans+tt)%MOD;
    }
    return ans;
}

int main(){  
    Init();
    int n,k,t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        printf("%d
",Work(n,k));
    }
    return 0;
}

幂次求和：

Σ(i,1,n)(i)=n*(n+1)/2= 1/2 * n² +  1/2 * n

Σ(i,1,n)(i²)=n*(n+1)*(2n+1)/6= 1/3 * n³ + 1/2 * n² +1/6 * n

Σ(i,1,n)(i³)= (n*(n+1)/2)² = 1/4 * n⁴ + 1/2 * n³ +1/4 * n²

Σ(i,1,n)(i⁴)= n*(n+1)*(2n+1)*(3x²+3x-1)/30 = 1/5 * n⁵ + 1/2 * n⁴ + 1/3 * n³ - 1/30 * n

Σ(i,1,n)(i⁴)= n² *(n+1)*(2n³+4n²+n-1)/12

 

 

海伦公式:

S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

p=(a+b+c)/2.0;

 

用四边长a、b、c、d表达园内接四边形面积的婆罗摩笈多公式：

S=sqrt((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d));

p=(a+b+c+d)/2.0;

 

三角形外接圆半径公式：

R=a*b*c/(4*S)=a*b*c/sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c));

三角形内切圆半径公式：

r=(1/2)*sqrt((a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)/(a+b+c));

a，b，c分别为三角形的边长。