平衡二叉树

平衡因子（Balance Factor，简称BF）：BF(T) = h_L-H_R,其中h_L和H_R分别为T的左、右子树的高度。

平衡二叉树(Balanced Binary Tree)（AVL树）：空树，或者任意结点左、右子树高度差的绝对值不超过1，即|BF(T)|≤1

平衡二叉树的高度能到达log₂N吗？

设nh高度为h的平很二叉树的最少结点数。结点数最少时：n_h=n_h-1+n_h-2+1

斐波那契数列： F₀=1,F₁=1,F_i=F_i-1+F_i-2 for i>1

平衡二叉树的调整

• 不平衡的“发现者”是Mar,“麻烦结点”Nov在发现者右子树的右边，因而叫RR插入，需要RR旋转（右单旋）

• “发现者”是Mar，“麻烦结点”Apr在发现者左子树的左边，因而叫LL插入，需要LL旋转（左单旋）

• “发现者”是May，“麻烦结点”Jan在左子树的右边，因而叫LR插入，需要LR旋转

• “麻烦结点”在右子树的左边，因而叫 RL 插入，需要RL 旋转

typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree;
struct AVLNode {
    ElementType Data;   /* 结点数据 */
    AVLTree Left;
    AVLTree Right;
    int Height;         /* 树高 */
};

int Max(int a, int b)
{
    return a>b?a:b;
}

int GetHeight(AVLTree A)
{
    int MaxH, HR, HL;
    if(A) {
        HL = GetHeight(A->Left);
        HR = GetHeight(A->Right);
        MaxH = (HL>HR)?HL:HR;
        return MaxH+1;
    }
    return -1;          //如果树为空树高为-1，叶子结点为0
}

AVLTree SingleLeftRotation(AVLTree A)
{
    /* 注意：A必须有一个左子结点B */
    /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */
    AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
    B->Height = Max(GetHeight(B->Left), A->Height) + 1;

    return B;
}

AVLTree SingleRightRotation(AVLTree A)
{
    /* A必须有一个右结点B */
    /* 将A与B做右单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */ 
    AVLTree B = A->Right;
    A->Right = B->Left;
    B->Left = A;
    A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
    B->Height = Max(GetHeight(B->Right), A->Height) + 1;

    return B; 
}

AVLTree DoubleLeftRightRotation(AVLTree A)
{
    /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
    /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
    
    /* 将B与C做右单旋，C被返回 */
    A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
    /* 将A与C做左单旋，C被返回 */
    return SingleLeftRotation(A);
}

AVLTree DoubleRightLeftRotation(AVLTree A)
{
    A->Right = SingleLeftRotation(A->Right);

    return SingleRightRotation(A);    
}

AVLTree Insert(AVLTree T, ElementType X)
{
    /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
    if(!T) {    /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->Data = X;
        T->Height = 0;
        T->Left = T->Right = NULL;
    } else if(X < T->Data) {
        /* 插入T的左子树 */
        T->Left = Insert(T->Left, X);
        /* 如果需要左旋 */
        if(GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == 2) {
            if(X < T->Left->Data)
                T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */
            else
                T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
        }
    } else if(X > T->Data) {
        /* 插入T的右子树 */
        T->Right = Insert(T->Right, X);
        /* 如果需要右旋 */
        if(GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == -2) {
            if(X > T->Right->Data)
                T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */
            else
                T = DoubleLeftRightRotation(T);    /* 左-右双旋 */
        }
    }

    /* 更新树高 */
    T->Height = Max(GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right)) + 1;
    return T;
}