图

一、什么是图

表示“多对多”的关系

包括：

• 一组顶点：通常用V（Vertex）表示顶点集合
• 一组边：通常用E（Edge）表示边的集合
  • 边是顶点对：(v, w)∈E，其中v,w∈V
  • 有向边<v, w>表示从v指向w的边（单行线）
  • 不考虑重边和自回路

二、抽象数据类型定义

• 类型名称：图（Graph）
• 数据对象集：G（V, E）由一个非空的有限顶点集合v和一个有限边集合E组成。
• 操作集：对于任意图G ∈ Graph， 以及v ∈ V， e ∈ E
  • Graph Create()：建立并返回空图；
  • Graph InsertVertex(Graph G, Vertex v)：将v插入G；
  • Graph InsertEdge(Graph G, Edge e)：将e插入G；
  • void DFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v出发深度优先遍历图G；
  • void BFS(Graph G, Vertex v)：从顶点v触发宽度优先遍历图G；
  • void ShortestPath(Graph G, Vertex v, int Dist[])：计算图G中顶点v到任一其他顶点的最短距离；
  • void MST(Graph G)：计算图G的最小生成树；
  • ......
• 数据结构中对于稀疏图的定义为：有很少条边或弧（边的条数|E|远小于|V|²）的图称为稀疏图（sparse graph），反之边的条数|E|接近|V|²，称为稠密图（dense graph）。 

如何表示图：

不过这种方法，比较浪费时间和空间

    /* 图的邻接矩阵表示法 */
     
    #define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */
    #define INFINITY 65535        /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/
    typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
    typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
    typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */
     
    /* 边的定义 */
    typedef struct ENode *PtrToENode;
    struct ENode{
        Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */
        WeightType Weight;  /* 权重 */
    };
    typedef PtrToENode Edge;
            
    /* 图结点的定义 */
    typedef struct GNode *PtrToGNode;
    struct GNode{
        int Nv;  /* 顶点数 */
        int Ne;  /* 边数   */
        WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵 */
        DataType Data[MaxVertexNum];      /* 存顶点的数据 */
        /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现 */
    };
    typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型 */
     
     
     
    MGraph CreateGraph( int VertexNum )
    { /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
        Vertex V, W;
        MGraph Graph;
         
        Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */
        Graph->Nv = VertexNum;
        Graph->Ne = 0;
        /* 初始化邻接矩阵 */
        /* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
        for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
            for (W=0; W<Graph->Nv; W++)  
                Graph->G[V][W] = INFINITY;
                 
        return Graph; 
    }
            
    void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )
    {
         /* 插入边 <V1, V2> */
         Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;    
         /* 若是无向图，还要插入边<V2, V1> */
         Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
    }
     
    MGraph BuildGraph()
    {
        MGraph Graph;
        Edge E;
        Vertex V;
        int Nv, i;
         
        scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */
        Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ 
         
        scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */
        if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ 
            E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */ 
            /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */
            for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
                scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
                /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */
                InsertEdge( Graph, E );
            }
        } 
     
        /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */
        for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
            scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));
     
        return Graph;
    }

领接表：G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素。

　　对于网络，结构中要增加权重的域。

    /* 图的邻接表表示法 */
     
    #define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */
    typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */
    typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */
    typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */
     
    /* 边的定义 */
    typedef struct ENode *PtrToENode;
    struct ENode{
        Vertex V1, V2;      /* 有向边<V1, V2> */
        WeightType Weight;  /* 权重 */
    };
    typedef PtrToENode Edge;
     
    /* 邻接点的定义 */
    typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode; 
    struct AdjVNode{
        Vertex AdjV;        /* 邻接点下标 */
        WeightType Weight;  /* 边权重 */
        PtrToAdjVNode Next;    /* 指向下一个邻接点的指针 */
    };
     
    /* 顶点表头结点的定义 */
    typedef struct Vnode{
        PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
        DataType Data;            /* 存顶点的数据 */
        /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */
    } AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是邻接表类型 */
     
    /* 图结点的定义 */
    typedef struct GNode *PtrToGNode;
    struct GNode{  
        int Nv;     /* 顶点数 */
        int Ne;     /* 边数   */
        AdjList G;  /* 邻接表 */
    };
    typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */
     
     
     
    LGraph CreateGraph( int VertexNum )
    { /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */
        Vertex V;
        LGraph Graph;
         
        Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立图 */
        Graph->Nv = VertexNum;
        Graph->Ne = 0;
        /* 初始化邻接表头指针 */
        /* 注意：这里默认顶点编号从0开始，到(Graph->Nv - 1) */
           for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
            Graph->G[V].FirstEdge = NULL;
                 
        return Graph; 
    }
            
    void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )
    {
        PtrToAdjVNode NewNode;
         
        /* 插入边 <V1, V2> */
        /* 为V2建立新的邻接点 */
        NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
        NewNode->AdjV = E->V2;
        NewNode->Weight = E->Weight;
        /* 将V2插入V1的表头 */
        NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
        Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;
             
        /* 若是无向图，还要插入边 <V2, V1> */
        /* 为V1建立新的邻接点 */
        NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
        NewNode->AdjV = E->V1;
        NewNode->Weight = E->Weight;
        /* 将V1插入V2的表头 */
        NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
        Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;
    }
     
    LGraph BuildGraph()
    {
        LGraph Graph;
        Edge E;
        Vertex V;
        int Nv, i;
         
        scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */
        Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */ 
         
        scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */
        if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */ 
            E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */ 
            /* 读入边，格式为"起点 终点 权重"，插入邻接矩阵 */
            for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
                scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
                /* 注意：如果权重不是整型，Weight的读入格式要改 */
                InsertEdge( Graph, E );
            }
        } 
     
        /* 如果顶点有数据的话，读入数据 */
        for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
            scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));
     
        return Graph;
    }

 其中

typedef struct Vnode{
    PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */
    DataType Data;            /* 存顶点的数据 */
    /* 注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data可以不用出现 */
} AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是邻接表类型 */

AdjList是一个Vnode为元素的数组的别名

 图的度是和顶点相关联的边的数目

三、图的遍历

深度优先算法

邻接表

/* 邻接表存储的图 - DFS*/

void Visit(Vertex V)
{
    printf("Now visit Vertex %d
", V);
}

/* Visited[]为全局变量，已经初始化false */
void DFS(LGraph Graph, Vertex V, void (*Visit)(Vertex))
{   /* 以V为出发点对邻接表存储的图Graph进行DFS搜索 */
    PtrToAdjVNode W;

    Visit(V);   /* 访问第V个顶点 */
    Visited[V] = true;  /* 标记V已访问 */

    for(W=Graph->G[V].FirstEdge;W;W=W->Next)    /* 对V的每个邻接点W->AdjV */
        if(!Visited[W->AdjV])       /* 若W->AdjV未被访问 */
            DFS(Graph, W->AdjV, Visit);     /* 则递归访问之 */
}

 邻接矩阵

void Visit(Vertex V)
{
    printf("Now visit Vertex %d
", V);
}

void DFS(MGraph Graph, Vertex V, int *Visited)
{
    Vertex W;

    Visit(V);
    Visited[V] = 1;         //已访问

    for(W=0;W<Graph->Nv;W++)
        if(Graph->G[V][W]==1 && Visited[W]==0)
            DFS(Graph, W, Visited);
}

广度优先算法

邻接矩阵

/* 邻接矩阵存储的图 - BFS */

/* IsEdge(Graph, V, W)检查<V, W>是否图Graph中的一条边，即W是否V的邻接点 */
/* 此函数根据图的不同类型要做不同的实现，关键取决于对不存在的边的表示方法  */
/* 例如对有权图，如果不存在的边被初始化为INFINITY，则函数实现如下：       */
bool IsEdge(MGraph Graph, Vertex V, Vertex W)
{
    return Graph->G[V][W]<INFINITY?true:false;
} 

/* Visited[]为全局变量，已经初始化为false */
void BFS(MGraph Graph, Vertex S, void(*Visit)(Vertex))
{   /* 以S为出发点对邻接矩阵存储的图Graph进行BFS搜索 */
    Queue Q;
    Vertex V, W;

    Q = CreateQueue(MaxSize);   /* 创建空队列，MaxSize为外部定义的常数 */
    /* 访问顶点S:此处可根据具体访问需要改写 */
    Visit(S);
    Visited[S] = true;  /* 标记S已访问 */
    AddQ(Q, S);          /* S入对列 */

    while(!IsEmpty(Q)) {
        V = DeleteQ(Q);     /* 弹出V */
        for(W=0;W<Graph->Nv;W++)    /* 对图中的每个顶点W */
            /* 若W是V的邻接点并且未访问过 */
            if(!Visited[W] && IsEdge(Graph, V, W)) {
                /* 访问顶点W */
                Visist(W);
                Visited[W] = true;  /* 标记W已访问 */
                AddQ(Q, W);         /* W入队列 */
            }
    } /* while结束 */
}