一、定义
- 连通图：在无向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该无向图为连通图。
- 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
- 连通图：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条变都有对应着一个数，称为权，权代表着连接两个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
- 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一颗树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
- 最小生成树：（代价最小）一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边。
最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。
贪心算法：
每一步都要最好的，权重最小的边。
需要的约束：
- 智能用图里有的边
- 智能正好用掉|v|-1条边
- 不能有回路
二、Kruskal算法
此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。
1.把图中的所有边按代价从小到打排序；
2.把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；
3.按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui，vi，应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一棵树。
4.重复（3），直到所有顶点都在一棵树内或者有n-1条边为止。
1 void Kruskal(Graph G) 2 { 3 MST = {}; 4 while(MST中不到|V|-1条边&&E中还有边) { 5 从E中取一条权重最小的边E(V,W); 6 将E(V,W)从E中删除; 7 if(E(V,W)不在MST中构成回路) 8 将E(V,W)加入MST; 9 else 10 彻底无视E(V,W); 11 } 12 if(MST中不到|V|-1条边) 13 Error("生成树不存在"); 14 }
T = O(|E|log|E|)
1 /* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 */ 2 3 /*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/ 4 typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */ 5 typedef Vertex SetName; /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */ 6 typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */ 7 8 void InitializeVSet( SetType S, int N ) 9 { /* 初始化并查集 */ 10 ElementType X; 11 12 for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1; 13 } 14 15 void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 ) 16 { /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */ 17 /* 保证小集合并入大集合 */ 18 if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */ 19 S[Root2] += S[Root1]; /* 集合1并入集合2 */ 20 S[Root1] = Root2; 21 } 22 else { /* 如果集合1比较大 */ 23 S[Root1] += S[Root2]; /* 集合2并入集合1 */ 24 S[Root2] = Root1; 25 } 26 } 27 28 SetName Find( SetType S, ElementType X ) 29 { /* 默认集合元素全部初始化为-1 */ 30 if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */ 31 return X; 32 else 33 return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */ 34 } 35 36 bool CheckCycle( SetType VSet, Vertex V1, Vertex V2 ) 37 { /* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */ 38 Vertex Root1, Root2; 39 40 Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */ 41 Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */ 42 43 if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通，则该边不能要 */ 44 return false; 45 else { /* 否则该边可以被收集，同时将V1和V2并入同一连通集 */ 46 Union( VSet, Root1, Root2 ); 47 return true; 48 } 49 } 50 /*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*/ 51 52 /*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/ 53 void PercDown( Edge ESet, int p, int N ) 54 { /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p ) */ 55 /* 将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆 */ 56 int Parent, Child; 57 struct ENode X; 58 59 X = ESet[p]; /* 取出根结点存放的值 */ 60 for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) { 61 Child = Parent * 2 + 1; 62 if( (Child!=N-1) && (ESet[Child].Weight>ESet[Child+1].Weight) ) 63 Child++; /* Child指向左右子结点的较小者 */ 64 if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */ 65 else /* 下滤X */ 66 ESet[Parent] = ESet[Child]; 67 } 68 ESet[Parent] = X; 69 } 70 71 void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet ) 72 { /* 将图的边存入数组ESet，并且初始化为最小堆 */ 73 Vertex V; 74 PtrToAdjVNode W; 75 int ECount; 76 77 /* 将图的边存入数组ESet */ 78 ECount = 0; 79 for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) 80 for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) 81 if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边，只收V1<V2的边 */ 82 ESet[ECount].V1 = V; 83 ESet[ECount].V2 = W->AdjV; 84 ESet[ECount++].Weight = W->Weight; 85 } 86 /* 初始化为最小堆 */ 87 for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- ) 88 PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne ); 89 } 90 91 int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize ) 92 { /* 给定当前堆的大小CurrentSize，将当前最小边位置弹出并调整堆 */ 93 94 /* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */ 95 Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]); 96 /* 将剩下的边继续调整成最小堆 */ 97 PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 ); 98 99 return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */ 100 } 101 /*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/ 102 103 104 int Kruskal( LGraph Graph, LGraph MST ) 105 { /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */ 106 WeightType TotalWeight; 107 int ECount, NextEdge; 108 SetType VSet; /* 顶点数组 */ 109 Edge ESet; /* 边数组 */ 110 111 InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */ 112 ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne ); 113 InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */ 114 /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */ 115 MST = CreateGraph(Graph->Nv); 116 TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */ 117 ECount = 0; /* 初始化收录的边数 */ 118 119 NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */ 120 while ( ECount < Graph->Nv-1 ) { /* 当收集的边不足以构成树时 */ 121 NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */ 122 if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */ 123 break; 124 /* 如果该边的加入不构成回路，即两端结点不属于同一连通集 */ 125 if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) { 126 /* 将该边插入MST */ 127 InsertEdge( MST, ESet+NextEdge ); 128 TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */ 129 ECount++; /* 生成树中边数加1 */ 130 } 131 } 132 if ( ECount < Graph->Nv-1 ) 133 TotalWeight = -1; /* 设置错误标记，表示生成树不存在 */ 134 135 return TotalWeight; 136 }
三、Prim算法
此算法可以称为”加点法“，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。
算法从某一顶点s开始，逐渐长达覆盖整个连通网的所有顶点。
1.图的所有顶点集合为V；初始令集合u={s},v=V−u;
2.在两个集合u，v能过够组成的边中，选择一条代价最小的边（u0，v0），加入到最小生成树中，并把v0并入到集合u中。
3.重复上述步骤，直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。
1 void Prim() 2 { 3 MST = {s}; 4 while(1) { 5 V = 未收录顶点中dist最小者; 6 if(这样的V不存在) 7 break; 8 将V收录进MST：dist[V] = 0; 9 for(V的每个邻接点W) 10 if(dist[W]!=0) 11 if(E(v,w) < dist[W]) { 12 dist[W] = E(v,w); 13 parent[W] = V; 14 } 15 } 16 if(MST中收的顶点不到|V|个) 17 Error("生成树不存在"); 18 }
T=O(|V|2)
1 /* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */ 2 3 Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] ) 4 { /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */ 5 Vertex MinV, V; 6 WeightType MinDist = INFINITY; 7 8 for (V=0; V<Graph->Nv; V++) { 9 if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) { 10 /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */ 11 MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */ 12 MinV = V; /* 更新对应顶点 */ 13 } 14 } 15 if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */ 16 return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */ 17 else return ERROR; /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */ 18 } 19 20 int Prim( MGraph Graph, LGraph MST ) 21 { /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */ 22 WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight; 23 Vertex parent[MaxVertexNum], V, W; 24 int VCount; 25 Edge E; 26 27 /* 初始化。默认初始点下标是0 */ 28 for (V=0; V<Graph->Nv; V++) { 29 /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */ 30 dist[V] = Graph->G[0][V]; 31 parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */ 32 } 33 TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */ 34 VCount = 0; /* 初始化收录的顶点数 */ 35 /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */ 36 MST = CreateGraph(Graph->Nv); 37 E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */ 38 39 /* 将初始点0收录进MST */ 40 dist[0] = 0; 41 VCount ++; 42 parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */ 43 44 while (1) { 45 V = FindMinDist( Graph, dist ); 46 /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */ 47 if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */ 48 break; /* 算法结束 */ 49 50 /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */ 51 E->V1 = parent[V]; 52 E->V2 = V; 53 E->Weight = dist[V]; 54 InsertEdge( MST, E ); 55 TotalWeight += dist[V]; 56 dist[V] = 0; 57 VCount++; 58 59 for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */ 60 if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) { 61 /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */ 62 if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) { 63 /* 若收录V使得dist[W]变小 */ 64 dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */ 65 parent[W] = V; /* 更新树 */ 66 } 67 } 68 } /* while结束*/ 69 if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */ 70 TotalWeight = ERROR; 71 return TotalWeight; /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */ 72 }