2018 Multi-University Training Contest 4

累惹。

B. Harvest of Apples

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6333

题意：求∑(i=0,m) C(n,m)。

分析：定义S(n,m)=∑(i=0,m) C(n,m)。可以知道：

S(n,m)=S(n,m-1)+C(n,m)，S(n-m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)=2*S(n-1,m-1)+C(n-1,m)。

由此可以推导出，由S(n,m)到S(n-1,m)，S(n+1,m)，S(n,m-1)，S(n,m+1)的式子为：

S(n-1,m)=(S(n,m)+C(n-1,m))/2

S(n+1,m)=2*S(n,m)-C(n,m)

S(n,m-1)=S(n,m)-C(n,m)

S(n,m+1)=S(n,m)+C(n,m+1)

得到了四个方向的状态转移式，因此，可以用莫队离线处理。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
struct point{
    int n,m,block,id;
}q[maxn]; 
ll fac[maxn],inv[maxn],ans[maxn];
int res,Block;
void init(){
    inv[0]=inv[1]=1;
    for (int i=2;i<maxn;i++)
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; 
}
int comp(point p,point q){
    return p.block<q.block || p.block==q.block && p.m<q.m;
}

int main(){
    init();
    int t;
    cin >> t;
    Block=(int)(sqrt(t));
    for (int i=0;i<t;i++){
        cin >> q[i].n >> q[i].m;
        q[i].id=i;
        q[i].block=q[i].n/Block;
    }
    sort(q,q+t,comp);
    ll n=0,m=0,nc=1,res=1;
    for (int i=0;i<t;i++){
        int nn=q[i].n,nm=q[i].m;
        while (nn<n){
            nc=nc*(n-m)%mod*inv[n]%mod;
            res=(res+nc)%mod*inv[2]%mod;
            n--;
        }
        while (nn>n){
            res=(res*2%mod-nc+mod)%mod;
            nc=nc*(n+1)%mod*inv[n+1-m]%mod;
            n++;
        }
        while (nm<m){
            res=(res-nc+mod)%mod;
            nc=nc*m%mod*inv[n-m+1]%mod;
            m--; 
             
        }
        while (nm>m){
            nc=nc*(n-m)%mod*inv[m+1]%mod;
            res=(res+nc)%mod;
            m++;
        }
        ans[q[i].id]=res;
    }
    for (int i=0;i<t;i++) cout << ans[i] << endl;
    return 0;
} 

D. Nothing is Impossible

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6335

题意：有若干道题，每题有1个正确选项，b个错误选项，问一个最优决策使得winner得分最大。

分析：如果仅有 1 道题，至少有一个人做对这题需要有 错误答案个数 + 1 个人。那么容易发现在每道题正确答案只有一个的情况下，如果 nn 道题中存在 ss 道题，使得学生人数 mm 不少于每道题 错误答案个数 + 1 相乘的结果，那么一定有人能够得到 ss 分。故我们将题目按错误答案个数从小到大排序，找到最大的 pp 满足就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
struct node{int a,b,num;}a[N];
bool cmp(node a,node b){return a.num<b.num;}
int main(){
    int t,n,m;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].a,&a[i].b),a[i].num=a[i].a+a[i].b;
        sort(a+1,a+n+1,cmp);
        int tmp=m;int cnt=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int num=a[i].num;
            int nn=tmp/num;
            tmp=nn*a[i].a;
            if(tmp<1) break;
            cnt=i;
        }
        printf("%d
",cnt);
    }
    return 0;
}

E. Matrix from Arrays

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6336

题意：根据题意构造一个矩阵，求子矩阵和。

分析：打表发现矩阵有循环节。n为奇数时循环节为n*n，n为偶数时循环节为2*n*2*n。求出循环节二维前缀和，再扩展到普通矩阵求和即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#define maxn 500
using namespace std;
typedef long long ll;
int mp[maxn][maxn],a[maxn];
int L;
void init(){
    int cursor = 0;
    for (int i = 0;i<4*L; ++i) {
        for (int j = 0; j <= i; ++j) { 
            mp[j][i - j] = a[cursor];
            cursor = (cursor + 1) % L;
        }
    }
    L*=2;
    for (int i=0;i<L;i++)
        for (int j=0;j<L;j++){
            if (i) mp[i][j]+=mp[i-1][j];
            if (j) mp[i][j]+=mp[i][j-1];
            if (i && j) mp[i][j]-=mp[i-1][j-1];
         }
}
ll calc(int x,int y){
    if (x<0 || y<0) return 0;
    ll res=0;
    res=1ll*mp[L-1][L-1]*(x/L)*(y/L)+1ll*mp[x%L][L-1]*(y/L)+1ll*mp[L-1][y%L]*(x/L)+1ll*mp[x%L][y%L];
    return res;
}
ll slove(){
    int l1,r1,l2,r2;
    ll res=0;
    cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
    res=calc(l2,r2)-calc(l1-1,r2)-calc(l2,r1-1)+calc(l1-1,r1-1);
    return res;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int t,q;
    cin >> t;
    while (t--){
        cin >> L;
        for (int i=0;i<L;i++) cin >> a[i];
        init();
        cin >> q;
        while (q--){
            ll ans=slove();
            cout << ans << endl;
        }
    }
    return 0;
}

K. Expression in Memories

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6342

题意：在？处填入数字0-9或+，*使得表达式合法。

分析：填入1或+即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is1(char c){
    return c=='+'||c=='*';
}
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false); 
    int t;string s;cin>>t;
    while(t--){
        cin>>s;s='+'+s;int len=s.size();
        for(int i=1;i<len;i++){
            if(s[i]=='?'){
                if(s[i-1]=='0'&&(s[i-2]=='+'||s[i-2]=='*')) s[i]='+';
                else s[i]='1';
            }
        }
        int flag=1;
        for(int i=1;i<len;i++){
            if(is1(s[i])&&is1(s[i-1])) flag=0;
            if(i==len-1) break; 
            if(is1(s[i-1])&&s[i]=='0'&&!is1(s[i+1])) flag=0;
        }
        string ans="";
        for(int i=1;i<len;i++) ans+=s[i];
        if(is1(s[len-1])) flag=0;
        if(flag) cout<<ans<<"
";
        else cout<<"IMPOSSIBLE"<<"
";
    }
    return 0;
}

L. Graph Theory Homework

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6343

题意：起点1，终点n，中间可经过任意点。求1-n的最小距离。

分析：容易证明：|sqrt(a)| + |sqrt(b)| > |sqrt(a+b)| ，边权满足三角不等式，故直接从1-n距离最小。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 100005
using namespace std;
int a[maxn];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0); 
    int t,n;
    cin >> t;
    while (t--){
        cin >> n;
        for (int i=1;i<=n;i++) cin >> a[i];
        int ans=(int)sqrt(abs(a[1]-a[n]));
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}