剑指offer-递归和循环

1. 斐波那契数列

解：

没啥好说的了，直接上高效的滚动迭代解法。矩阵解法和特征根解法这里不讨论了。

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        if n <= 1:
            return n
        dp_0, dp_1 = 0, 1
        for i in range(2, n+1):
            dp_0, dp_1 = dp_1, dp_0 + dp_1
        return dp_1

　　

2. 跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

解：

这题其实就是斐波那契数列。写一下暴力递归之外的解法。

递归+记忆化，自顶向下。

class Solution:
    def jumpFloor(self, number):
        # write code here
        memo = [0] * (number + 1)
        def helper(n, memo):
            if n <= 2:
                memo[n] = n
                return memo[n]
            if memo[n] > 0:
                return memo[n]
            ans = helper(n-1, memo) + helper(n-2, memo)
            memo[n] = ans
            return memo[n]
        return helper(number, memo)

　　

动态规划，自底向上，状态转移依赖简单，不需要开一维数组。

class Solution:
    def jumpFloor(self, number):
        # write code here
        if number <= 2:
            return number
        f1, f2 = 1, 2
        for i in range(3, number+1):
            res = f1 + f2
            f1 = f2
            f2 = res
        return res

　　

3.变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解：

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)。n = 1时只有一种跳法，f(1) = 1；n = 2时只有两种，f(2) = 2 = f(2-1) + f(2-2)。显然f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1) +f(0)，递推公式为f(n) = 2*f(n-1)。

递归实现

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        if number == 1:
            return 1
        return 2*self.jumpFloorII(number-1)

　　

f(n) = 2*f(n-1) = 2*2*f(n-2) = ... = 2^n-1

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        return 2**(number-1)

　　

4. 矩形覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

解：

f(1) = 1, f(2) = 2, f(n)的时候有两种情况，先摆一个竖的，然后有f(n-1)种；先摆两个横的，然后有f(n-2)种，所以还是斐波那契数列。

class Solution:
    def rectCover(self, number):
        # write code here
        if number <= 2:
            return number 
        fn1 =2
        fn2 = 1
        for i in range(3, number+1):
            res = fn1 + fn2
            fn2 = fn1
            fn1 = res
        return res