1. 概述
在文章《判断点是否在三角形内》中还提到了一种判断点在三角形内外的算法——重心法。这种算法同样用到了三角形的空间向量方程，但是值得注意的是，这种算法却只能判断平面中点在三角形的内外关系(已知空间向量方程，是可以判断三维空间关系的:空间中判断点在三角形内算法(方程法))。
2. 详论
2.1. 原理
重心法的推导过程与空间中判断点在三角形内算法(方程法))的推导过程比较相似。对于三个顶点为V0，V1，V2组成的空间三角形，对于三角形内的任一点P，有如下参数方程：
[vec{P} = (1 - u - v) vec{V_0} + u vec{V_1} + v vec{V_2}
]
变换位置，我们可以将其调整为：
[vec{V_0P} = u(vec{V_0V_1}) + v(vec{V_0V_2})
]
将上式分别点乘(vec{V_0V_1})和(vec{V_0V_2})，有：
[egin{cases}
vec{V_0P} cdot vec{V_0V_1} = u(vec{V_0V_1 cdot vec{V_0V_1}}) + v(vec{V_0V_2} cdot vec{V_0V_1}) \
vec{V_0P} cdot vec{V_0V_2} = u(vec{V_0V_1} cdot vec{V_0V_2}) + v(vec{V_0V_2} cdot vec{V_0V_2}) \
end{cases}
]
很显然，这是个2行2列的线性方程组，通过克莱姆法则来求解：
[egin{cases}
D = (vec{V_0V_1 cdot vec{V_0V_1}}) * (vec{V_0V_2} cdot vec{V_0V_2}) - (vec{V_0V_2} cdot vec{V_0V_1}) * (vec{V_0V_1} cdot vec{V_0V_2}) \
D1 = (vec{V_0P} cdot vec{V_0V_1}) * (vec{V_0V_2} cdot vec{V_0V_2}) - (vec{V_0V_2} cdot vec{V_0V_1}) * (vec{V_0P} cdot vec{V_0V_2}) \
D2 = (vec{V_0V_1 cdot vec{V_0V_1}}) * (vec{V_0P} cdot vec{V_0V_2}) - (vec{V_0P} cdot vec{V_0V_1}) * (vec{V_0V_1} cdot vec{V_0V_2}) \
end{cases}
]
[egin{cases}
u = D1 / D \
v = D2 / D \
end{cases}
]
2.2. 实现
详细的代码实现如下：
//空间三角形
//按照逆时针顺序插入值并计算法向量
template <class T>
class Triangle
{
public:
Vec3<T> v0;
Vec3<T> v1;
Vec3<T> v2;
Triangle()
{
}
Triangle(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
{
this->v0 = v0;
this->v1 = v1;
this->v2 = v2;
}
void Set(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
{
this->v0 = v0;
this->v1 = v1;
this->v2 = v2;
}
// 判断平面点P是否在平面三角形内(重心法)
bool PointInTriangle2D(Vec3<T>& P)
{
auto v01 = v1 - v0 ;
auto v02 = v2 - v0 ;
auto v0p = P - v0 ;
double dot00 = v01 * v01 ;
double dot01 = v01 * v02 ;
double dot02 = v01 * v0p ;
double dot11 = v02 * v02 ;
double dot12 = v02 * v0p ;
double D = (dot00 * dot11 - dot01 * dot01);
if(D == 0.0)
{
return false;
}
double inverDeno = 1 / D ;
double u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ;
if (u < 0 || u > 1)
{
return false ;
}
double v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ;
if (v < 0 || v > 1)
{
return false ;
}
return u + v <= 1 ;
}
};
2.3. 总结
本质上，这个算法与空间中判断点在三角形内算法(方程法)是同一种算法的不同推导，都是通过空间三角形中点的向量方程来求解的，但是是采用了不同的解法。不过为什么一个可以判断空间关系，一个只能判断平面关系呢？关键在于点是否能让向量方程成立，这个求解算法可以求解u，v，但没有保证空间内的向量方程能够成立。