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  • 求导/泰勒展开

    求导/泰勒展开

    前言:求导是为泰勒展开铺路的。。

    求导

    (f'(x))(f(x))的导数,即(f(x))(x)上的变化率

    (egin{aligned} f'(x)=lim_{Delta x ightarrow 0} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}end{aligned})

    (f(x))(x)上可导的前提是(f(x))(x)上是连续的

    一种不完善的判定条件是(egin{aligned} lim_{Delta x ightarrow 0^+} frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=lim_{Delta x ightarrow 0^+} frac{f(x)-f(x-Delta x)}{Delta x}end{aligned})

    [ ]

    求导法则

    (1.(x^n)'=n cdot x^{n-1})((nin R),但是要注意定义域)

    (2.(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x)

    (3.(e^x)'=e^x)

    (4.(a^x)'=ln acdot a^x)

    (5.(ln x)'=frac{1}{x})

    (6.log_a x=frac{1}{xln a})

    (7.(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))

    (8.(frac{f(x)}{g(x)})'=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)})

    (9.(f(g(x)))'=f'(g(x))cdot g'(x))

    (f(x)=ln x,g(x)=ax-1)

    (f'(x)=frac{1}{x},f'(g(x))=frac{1}{ax-1})

    (g'(x)=a)

    ((ln (ax-1))'=frac{a}{ax-1})

    $$ $$

    泰勒 Taylor 展开

    ( ext{Taylor})展开是用函数(f(x))在某个点(x_0)上不断求导之后的函数值表示出函数本身

    从而将任何一个函数表示成(可能不是有穷的)多项式函数形式

    (egin{aligned} f(x)=sum _{i=0}^{infty}frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^iend{aligned})

    其中(f^{(i)})表示(f)(i)阶导数

    (x_0=0)时,这个展开被称为麦克劳林 ( ext{Maclaurin})展开,即

    (egin{aligned} f(x)=sum _{i=0}^{infty}frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^iend{aligned})

    Taylor 展开的证明

    为了便于描述,下面直接对于( ext{Maclaurin}) 展开叙述 , ( ext{Taylor})展开相当于平移了(x_0)

    不妨设(f(x))展开后的多项式函数系数为(a_i),即设(egin{aligned} f(x)=sum_{i=0}^{infty}a_ix^iend{aligned})

    不断对于(f(x))求导得到下式

    (egin{aligned} f^{(0)}(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3cdots end{aligned})

    (egin{aligned} f^{(1)}(x)= a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3cdots end{aligned})

    (egin{aligned} f^{(2)}(x)= 2a_2+6a_3x^1+12a_4x^2+20a_5x^3cdots end{aligned})

    (cdots)

    (egin{aligned} f^{(n)}(x)= n!a_n+prod_{i=2}^{n+1}icdot a_{n+1}x^1+prod_{i=3}^{n+2}icdot a_{n+2}x^2cdots end{aligned})

    带入这些函数在0上的取值,得到

    (f^{(i)}(0)=i!cdot a_i)

    因此(egin{aligned} f(x)=a_ix^i=sum _{i=0}^{infty}frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^iend{aligned})

    [ ]

    常见的Taylor展开

    如果你是数学生

    (e^xge frac{x^2}{2}+x+1)

    (ln xleq x-1)

    诸如此类,常用于(e^x,ln x)的放缩处理

    [ ]

    如果你是OIer/ACMer

    带入(f(x)=e^x,x_0=0),得到

    (egin{aligned} f(x)=e^x=sum _{i=0}^{infty}frac{x^i}{i!}end{aligned})

    类似的

    [1+frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}+frac{x^6}{6!} ... =frac{e^x+e^{-x}}{2} ]

    [frac{x^1}{1!}+frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}...=frac{e^x-e^{-x}}{2} ]

    还有很多都可以自己代入一下,比如

    (egin{aligned} frac{1}{1-x}=sum_{i=0}^{infty} x^iend{aligned})

    (egin{aligned} -ln (1-x)=ln frac{1}{1-x}=sum_{i=1}^{infty}frac{x^i}{i}end{aligned})

    (egin{aligned}sin x =sum_{i=1}(-1)^{i+1}frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}end{aligned})

    (egin{aligned}cos x=sum_{i=0}(-1)^{i}frac{x^{2i}}{(2i)!}end{aligned})

    应用:牛顿迭代法

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/chasedeath/p/12803537.html
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