数论知识小结 [基础篇]
(latest updated on 2020.08.12)
符号((a,b)=gcd(a,b))
乘除(a|b ightarrow b=ka (kin N^+))
(sum)求和,(prod)求积
任意(forall)，存在(exists)
$lfloor x floor $ 向下取整，$lceil x ceil $ 向上取整
([a,b])区间，通常指整数即([a,b]cap )
调和级数
数学上，调和级数为(H_n=sum_{i=1}^{n}frac{1}{i})
在OI中，我们常用调和级数分析(sum_{i=1}^nfrac{n}{i}approx nln n)
把它近似看成是(f(x)=frac{n}{x})在([1,n])上的积分，它的原函数(F(x)=nln x)
即(egin{aligned} sum_{i=1}^nfrac{n}{i}approx int_1^nf(x) dx=F(n)-F(1)=nln n-napprox nln nend{aligned})
附：广义调和级数 (egin{aligned} H^z_n=sum_{i=1}^{n}frac{1}{i^z} end{aligned})它的无穷形式为黎曼函数(egin{aligned}zeta(z)=H^{z}_{infty}end{aligned})
向下取整的性质/数论分段
性质:$lfloor frac{n}{ab} floor =lfloor frac{lfloor frac{n}{a} floor }{b} floor $
数论分段：即对于(i=[1,n])，把(i)按照(lfloor frac{n}{i} floor)的值分成(O(sqrt n))段，(通常为(2cdot sqrt n)段左右)
证明：对于(ileq sqrt n)，显然只有(sqrt n)个不同的值
对于(i>sqrt n)，此时(frac{n}{i}<sqrt n)，也只有(sqrt n)个不同的值
素数/质数/质数密度
对于(x>1)，若( exists yin[2,n-1],y|x)，则(x)是一个质数，下文称素数集合为(prime)集合
(n)以内的素数个数用函数(pi(n)=|primecap[1,n]|)表示，素数密度在渐进意义上是(O(log n))的
即可以认为(pi(n)=O(frac{n}{log n}))(实际在(n)较小时完全看不出这一点)
(n)的唯一分解: (n=prod_{p_iin prime} p_i^{c_i})
朴素的素数判别法:
一个显然方法的如果(x)不是质数，则(exists yin [2,sqrt n] ,y|x)
所以可以朴素写出一个(O(sqrt n))的素数判别法
利用这一点预先处理小素数，每次只判断素数，可以写出一个(O(pi(sqrt n)))的素数判别法
朴素的质因数分解法:
即求(n=prod p_i^{c_i},p_iin prime)，其中(sum c_ileq log _2^n)
由于对于一个数(n)，最多存在一个(yin prime cap [sqrt n,n],y|n)，因此可以先分解掉(y<sqrt n)的部分，剩下的一个就知道了
void Factor(int n){
for(int i=2;i*i<=n;++i) if(n%i==0)
while(n%i==0) printf("%d ",i),n/=i; // 分解掉<sqrt(n)的部分
if(n>1) printf("%d ",n); // 如果还剩下，那么就是>sqrt(n)的一个质数
}
复杂度是(O(sqrt n +log n))
更优化的只枚举质数作为因子，复杂度是(O(pi(sqrt n)+log n))
朴素的素数筛法：埃氏筛
对于([2,n])每个数(i)，(x=ki(k>1))均不是质数，直接枚举复杂度为调和级数(O(nln n))
更优化的，对于([2,n])中每个质数(i)，(x=ki(k>1))均不是质数，由于素数密度为(O(log n)),所以可以近似认为是(O(nlog log n))(实际我不会证明。。)
线性筛(欧拉筛)
筛素数知识一个基础，可以筛很多函数，尤其是适用于积性函数
直接上代码背板子好了
int notpri[N],prime[N],primecnt;
void Sieve(){
notpri[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) {
if(!notpri[i]) prime[++primecnt]=i;
for(int j=1; j<=primecnt && 1ll*i*prime[j]<=n;++j){
notpri[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
其中(imod prime_j= 0)意味着后面的数已经被(frac{i}{prime_j})筛掉了，所以可以break
复杂度是带有一定常数的(O(n)),还可以用来筛其他的一些函数
(gcd, ext{lcm})
最大公因数( ext{gcd(greatest common divisor)})常用(gcd(x,y)=(x,y))表示
最小公倍数( ext{lcm(least common multiple)})
特别的：((a,0)=a)
求(gcd(a,b))可以用辗转相除法(也称为欧几里得算法)，即利用性质((a,b)=(amod b,b))
每次递归调用(gcd(b,amod b))即可，边界为((a,0)=a)
复杂度分析：
首先是取模的分析，对于(forall a,b,age b)，必然满足(amod b leq frac{a}{2})
所以每次取模至少会减少一倍，复杂度为(O(log a))
附：扩展欧几里得算法
用于求解不定方程(ax+by =1)的一组解((x,y))
存在解的条件是((a,b)=1)，否则((a,b)|ax+by)，即(ax+by>1)
用类似求( ext{gcd})的方法求出
(ax+by=1)
(( amod b)cdot x+ lfloor frac{a}{b} floorcdot bcdot x + by=1)
(( amod b)cdot x+ bcdot (lfloor frac{a}{b} floorcdot x + y)=1)
那么如果求出((amod b)cdot x'+bcdot y'=1)的解
则(x'=x,y'=lfloor frac{a}{b} floor cdot x+y)
即(x=x',y=y'-lfloor frac{a}{b} floor x)
每次都递归求出$(amod b) cdot x+ by =1 $
复杂度与(gcd)相同，最后的((a,b)=a=1,b=0)是边界条件，此时(x+0cdot y=1)的一组解是((1,0))
写成代码
// ax + by =1
int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
if(b==0){
if(a!=1) return 0; // (a,b)!=1 ,不存在解
x=1,y=0; // 初始解
return 1;
}
Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x; // 带入上面的式子，注意这里带入的是(b,a%b),所以x,y要反过来
return 1;
}
注意求出的(x,y)不保证为正数
因数个数
似乎没有找到规范的函数定义，所以下称(d(n))
即(d(n)=|{i|iin[1,n]and i|n}|)
对于(n=prod p_i^{c_i})，列一条小学的公式(d(n)=prod (c_i+1))
因数个数一个非常松的上界是(O(sqrt n))，证明这里略去
实际上，搜索得到的上界大致是
maxn=10^ 1 max= 4
maxn=10^ 2 max= 12
maxn=10^ 3 max= 32
maxn=10^ 4 max= 64
maxn=10^ 5 max= 128
maxn=10^ 6 max= 240
maxn=10^ 7 max= 448
maxn=10^ 8 max= 768
maxn=10^ 9 max= 1344
maxn=10^10 max= 2304
maxn=10^11 max= 4032
maxn=10^12 max= 6720
maxn=10^13 max= 10752
maxn=10^14 max= 17280
maxn=10^15 max= 26880
maxn=10^16 max= 41472
maxn=10^17 max= 64512
maxn=10^18 max= 103680
可以看到，因数个数是非常少的
附:
质因数个数(Omega(n)=|primecap [1,n]|)，非常松的上界是(Omega(n)=O(log n))
约数和函数(sigma(n)=sum_{i|n}i)
费马小定理/欧拉定理/欧拉函数/阶
费马小定理： 对于任意质数(P,x>0,x^{p-1}equiv 1 pmod P)
欧拉函数：(varphi(n))为([1,n-1])中与(n)互质的数个数，特别的(varphi(1)=1)
设(n=prod p_i^{c_i})其中(p_i)是质数,(c_i>0)，则(varphi(n)=prod p_i^{c_i-1}(p_i-1)=nprodfrac{p_i-1}{p_i})
对于可以通过类似筛素数的方法求出来([1,n])的(varphi(i))
对于数(n)，需要采用质因数分解求出，朴素的做法为(O(sqrt n))，用( ext{Pollard's Rho})算法复杂度更低
欧拉定理：对于任意数(P>1,x>0,x^{varphi(P)}equiv 1pmod P)
推论：(x^cequiv x^{cmod varphi (P)} pmod P)
很显然，费马小定理是欧拉定理的特殊情况
阶：对于((a,n)=1)的整数，满足(a^r≡1 pmod n) 的最小整数(r),称为(a)模(n)的阶，以下简称(d(a))
显然(a^i mod n)构成了一个以(r)为最小正周期的循环
性质：根据欧拉定理(a^{varphi(n)}mod n=1)，所以有(d(a)|varphi(n))
求解阶：先对于 (varphi(n))质因数分解，然后可以
1.依次枚举每个因数判断是否有(a^imod n=1)，取最小的(i)，复杂度为(O(sqrt nlog n))
2.设(varphi(n)=p_i^{c_i})，令(x=varphi(P))，从(x)开始，如果(a^{frac{x}{p_i}}mod n=1)，则(x ightarrow frac{x}{p_i})
预处理复杂度受限于质因数分解(下文有介绍)
单次查询复杂度上限是(O(log ^2 P))(为快速幂复杂度乘上(sum c_i))
模逆元
对于任意数(x>1,P>1,(x,P)=1)，存在一个数(frac{1}{x}equiv ypmod P)
即(xyequiv 1 pmod P)，(y)为(x)的一个模逆元
当(P)为质数时，由于(x^{P-1}equiv 1 pmod P)，所以(yequiv x^{P-2}pmod P)为(x)的一个逆元
当(P)不为质数时，如果已知(varphi (P))，可以类似得做，否则可以构造(acdot x+bcdot P=1)，用扩展欧几里得算法求出一组合法解((a,b))，则(a)即为一个答案
原根/指标
原根：一个数(P)有原根的条件是他可以表示为(P=1,2,4,p,2p,p^n(pin prime))
对于(P)，令(d(x))为(x)模(P)的原根，若存在(d(x)=varphi(P)),则(x)是(P)的一个原根
找原根：
设(varphi(P)=prod p_i^{c_i})，其中(p_i)是质数
由于(d(x)|varphi(P))，如果(d(x)<varphi(P))那么必然存在一个(x^{frac{varphi(P)}{p_i}}equiv 1pmod P)
所以先求一遍质因数分解，然后快速幂判断就可以做到(O(log ^2 P))判断原根
显然原根不唯一
已经被证明对于任意的(P)如果存在原根，则其最小原根最多是(O(P^{frac{1}{4}}))级别的
指标：
对于一个数(P)和它的一个原根(x)，对于(gcd(y,P)=1)，则(y)一定可以用(x^i)表示，那么(i)就是(y)的指标
同时，(y)模(P)的阶就是(d(y)=frac{varphi(P)}{gcd(varphi(P),i)})，可以认为是数列(a_j=icdot jmod varphi(P))的周期问题
可以使用( ext{BSGS})算法在(O(sqrt Plog P))或者(O(sqrt P))的时间内求出一个数的指标
(关于去掉(log P)：只需要处理出模逆元直接累乘，每次用( ext{Hash Table})访问即可)
指标在二次剩余的较劣做法中也有应用，同时也可以直接套用性质用于阶的求解
快速乘
求(x,yin[0,P-1],Pleq 10^{18},xcdot y mod P)
直接乘法会爆long long
可以用类似快速幂的方法写，复杂度为(O(log P))
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ll;
void qmul(ll x,ll y,ll P){
ll res=0;
for(;y;y>>=1,x=(x+x)%P) if(y&1) res=(res+x)%P;
return res;
}
另一种方法是强行用long double 保证精度，然后计算的时候用unsigned long long 溢出回来，(O(1))但是很奇怪，通常不会挂
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ll;
void qmul(ll x,ll y,ll P){
ull z=(long double)x/P*y;
ll res=(ull)x*y-(ull)z*P;
return (res%P+P)%P;
}