无向图的 三元环

无向图的 三元环 - 四元环 计数

问题描述：

给定一个(n)个点(m)条边的无向图，统计其中三元环/四元环的个数

三元环

考虑枚举一条边((u,v))，为了避免重复我们可能令(u<v)

然后暴力枚举求出(u,v)两个点出边的交点个数

具体的，先对于(u)的出点打标记，然后查询(v)的出点中被标记的个数

tips:当然每个三元环会被算三次

这样复杂度显然是(O(nm))的，当(v)点度数大时就可以卡掉

优化

强制(deg_u>deg_vor deg_u=deg_v,u<v)

考虑先固定(u)，预处理出标记情况，然后枚举每个合法的((u,v))

再去枚举(v)的出边

考虑证明这个复杂度上限为(O(msqrt m))级别

假设对于((u,v))

1.如果(deg_vleq sqrt m)，显然它们被枚举的次数总和(leq m)，枚举复杂度为(O(msqrt m))

2.对于(deg_v>sqrt m)，则显然有(deg_uge deg_v>sqrt m)

会枚举到(v)的(u)显然不超过(sqrt m)个，因此这样的(v)遍历次数为(O(msqrt m))

故复杂度为(O(msqrt m))

[ ]

四元环

类似三元环的方法，同样按照((deg_u,u))二元组递减的顺序设定排名

强制(u)为四元环中排名最小的点，枚举合法的边((u,v))，那么我们计算的实际上是每个(v)的出边的交的个数

依次枚举每个(v)的过程中，对于出边((v,w))维护(w)出现次数，即可求出交点个数

容易发现这样的计算不会出现重复

而复杂显然是与上面相同的，还去掉对于(u)的出点打标记的过程