%EI 笔记： 一类特殊的线性求和

%EI 笔记： 一类特殊的线性求和

话不多说先%%%%%EI

对于给定的常数列(a_i,iin[0,n])

对于一些可以肉眼描述特征的多项式(F(x))，以及一类特殊的(G(x))（常见的(G(x))为(e^x,a_i=i!)）

具体的，能够对于(F(x))列出一条较为简单的微分方程，如(F(x)=(1-x)F'(x)+H(x))

对于(G(x))，容易求得(sum a_i[x^i]G^k(x))

则可以用下面的思路求得(sum a_i[x^i]F(G(x)))

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设(c=G(0))，带入(F(G(x)))在(c)上的( ext{Taylor})展开

(displaystyle F(G(x))=sum_{i=0}^{infty} F^{(i)}(c)frac{(G(x)-c)^i}{i!})

由于([x^0]G(x)-c=0)，故仅(ileq n)的项对于答案有贡献

我们求出的(F^{(i)}(c))实际上由(F(x+c))的前(n)项决定

也就是说，只要能够截取(F(x+c))的前(n)项，设其为(mathscr F(x+c)=F(x+c)mod x^{n+1})

那么我们再带入(displaystyle mathscr F(G(x))=sum_{i=0}^nmathscr F_iG^i)，根据前面提到的(sum a^i[x^i]G^k(x))就能求得答案

那么通过(F(x+c))得到(mathscr F(x))，如果可以直接做就不谈

如果较复杂可以通过以下步骤

1.观察并列出(F(x))的微分方程(sum p_i(x)F(x)=0)，则同样有(sum p_i(x+c)F^{(i)}(x+c)=0)

2.截取微分方程，得到同样系数的的方程

(sum p_i(x+c)mathscr F^{(i)}(x+c))

然而由于(mathscr F^{(i)}(x+c))相较于(F^{(i)}(x+c))缺少了部分项，设

(sum p_i(x+c)mathscr F^{(i)}(x+c)=D(x))

如果(D(x))较简洁，那么根据(D(x))的形式，我们能够得到(D(x-c))的展开

即(sum p_i(x)mathscr F^{(i)}(x)=D(x-c))，此时再通过新的微分方程依次递推(mathscr F(x))的每一项即可

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例子：

「TJOI / HEOI2016」求和 题解