CF1491G

CF1491G - Switch and Flip

题目大意

有(n)个硬币，编号(1-n)，第(i)个位置上当前放了编号(a_i)的硬币

每次交换((a_i,a_j)i e j)，且将硬币(a_i,a_j)翻转

求方案使得最终使得(a_i=i)且每个硬币恰好为原先方向

(nge 3)，方案步数(leq n+1)

分析

显然要先对于(a_i)求出置换环，步数(leq n+1)说明

1.general的情况可以用(n)步解决(n)个点

2.存在至多一个特殊情况要(n+1)步

手玩发现我们无法(n)步解决一个大小为(n)的环

但是如果环上恰好已经有两个硬币被翻过，那么可以

图上点表示硬币编号，箭头所指是这个硬币应该在的位置

我们从一个已经翻转的点开始，不断交换(i,a_i)上的硬币，会将(a_i)移动到到应该在的位置上

同时下一个位置被翻转

不断进行这个操作，直到这个点消去了半边环，遇到了下一个点也是被翻过的点

此时再从下一个点开始将环的另外半边消去

那么考虑如何让一个环有两个已经翻转的点

假设提取出了(c)个环，我们可以先尽量成对匹配两个环

通过一次跨过环的交换操作合并两个大小(x,y)的环，同时生成两个翻转点

然后进项上面的操作，需要(x+y-1)次，恰好一共(x+y)次

那么对于最后剩下的一个环

1.如果前面已经有环被匹配过

那么随便选择一个当前(a_i=i)的自环与其合并即可

2.整个图为一个大环

先通过交换(1,a_1)将(a_1)弹出，然后(a_1)再和环上另外一个元素交换

此时(a_1)变成未翻转状态，环又并成一个环+2个翻转点

const int N=2e5+10,INF=1e9+10;

int n;
int a[N],vis[N],b[N],c;

int X[N],Y[N],C,col[N];
void Swap(int x,int y){
	X[++C]=x,Y[C]=y;
	swap(a[x],a[y]),col[a[x]]^=1,col[a[y]]^=1;
}
void Solve(int i){ 
	while(!col[a[i]]) i=a[i];
	while(!col[a[a[i]]]) Swap(i,a[i]);
	i=a[i];
	while(i!=a[i]) Swap(i,a[i]);
}

int main(){
	n=rd();
	rep(i,1,n) a[i]=rd();
	rep(i,1,n) if(!vis[i]) {
		for(int j=i;!vis[j];j=a[j]) vis[j]=1;
		b[++c]=i;
	}
	for(int i=1;i<c;i+=2) {
		Swap(b[i],b[i+1]);
		Solve(b[i]);
	}
	if(c&1) {
		if(c==1) {
			int t=a[1];
			Swap(1,a[1]),Swap(t,a[1]);
			Solve(i);
		} else {
			rep(i,1,n) if(a[i]==i) {
				Swap(i,b[c]);
				Solve(i);
				break;
			}
		}
	}
	printf("%d
",C);
	rep(i,1,C) printf("%d %d
",X[i],Y[i]);
}