「USACO 2021 US Open Platinum」United Cows of Farmer John

「USACO 2021 US Open Platinum」United Cows of Farmer John

考虑依次枚举右端点(i)，计算左边合法的方案数，设一个数(x)上次出现的位置为(lst_x)

则(i)能够作为右端点的区间就是([lst_{a_i}+1,i-2])

考虑什么样的位置可以作为左端点，显然这个点在([1,i])中是最后一次出现

我们将不妨这样的点权值设为(w_i=1)

考虑一个点作为中间点贡献怎样的区间，同样的，这个点在([1,i])中是最后一次出现

并且，能够贡献的区间(>)上一次出现的位置(lst_x)

这个中间点能够匹配的左端点个数就是(displaystyle sum_{k=lst_{a_j}+1}^{j-1} w_k)

现在我们要用数据结构动态修改某一个位置的(w_i)，增减([lst_{a_j}+1,j-1])的区间，查询([lst_{a_i}+1,i-2])

不妨再为一个点增加点权(t_i)，此时我们要维护的操作

1.单点修改(w_i)

2.区间修改(t_i)

3.求(w_it_i)区间和

在线段树上每个节点维护(w_i)之和，(w_it_i)之和，可以标记永久化(t_i)

具体实现参考代码（实际写得很丑）

const int N=2e5+10,INF=1e9+10;


int n;
int lst[N],lst2[N],cnt;
ll s1[N<<2],s2[N<<2];
int t[N<<2];
// s1表示w之和，s2表示区间内部t[i]*w[i]之和，t[i]现在是永久化的标记
void Up(int p){
	s2[p]=s2[p<<1]+s2[p<<1|1];
	s1[p]=s1[p<<1]+s1[p<<1|1]+s2[p]*t[p];
}
void Upd(int p,int l,int r,int x){
	if(l==r) {
		s2[p]^=1,s1[p]=t[p]*s2[p];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	x<=mid?Upd(p<<1,l,mid,x):Upd(p<<1|1,mid+1,r,x);
	Up(p);
}

void Upd(int p,int l,int r,int ql,int qr,int x){
	if(ql>qr) return;
	if(ql<=l && r<=qr) {
		t[p]+=x,s1[p]+=x*s2[p];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid) Upd(p<<1,l,mid,ql,qr,x);
	if(qr>mid) Upd(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,x);
	Up(p);
}

struct Node{
	ll x,y;
	Node(ll x=0,ll y=0):x(x),y(y){  }
	Node operator + (const Node __) { return Node(x+__.x,y+__.y); }
};
Node Que(int p,int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql>qr) return Node();
	if(ql<=l && r<=qr) return Node(s1[p],s2[p]);
	int mid=(l+r)>>1; Node res;
	if(ql<=mid) res=res+Que(p<<1,l,mid,ql,qr);
	if(qr>mid) res=res+Que(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	res.x+=res.y*t[p];
	return res;
}

int main(){
	n=rd();
	ll ans=0;
	rep(i,1,n) {
		int x=rd();
		if(lst[x]) {
			Upd(1,1,n,lst[x]),cnt--;
			Upd(1,1,n,lst2[x]+1,lst[x],-1);
		}
		Node t=Que(1,1,n,lst[x]+1,i-2);
		ans+=t.x;
		Upd(1,1,n,i),cnt++,Upd(1,1,n,lst[x]+1,i-1,1);
		lst2[x]=lst[x],lst[x]=i;
	}
	printf("%lld
",ans);
}