CF1404D

CF1404D - Game of Pairs

题目大意

两个人Van游戏，

第一个人对于(1,2,cdots,2n)分成(n)组

第二个人尝试从每组中选一个数，使得选出数的和是(2n)的倍数

你选一个人Van，然后赢了交互器

分析

考虑从一个(mathbb{Naive})的构造开始：

分成(n)组，每组都是((i,n+i))

为什么这么构造？因为每组两个数(mod n)都相同

那么最终选出的和(Summod n=frac{n(n+1)}{2})

观察到，在(n)为偶数时，(Sum mod n=frac{n}{2} e 0)，此时必然无解

然后我没过脑子随机化艹出了n为奇数的方案，但是没事下面有确定解法

而(n)为奇数时，我们只需要类似找到一组(mod n=0,1,2,cdots ,n-1)的方案

此时必然满足(Summod n=0)

这只需要对于给出的每组((a_i,b_i))，对于(a_imod n,b_imod n)连一条边

然后在最终的置换环上进行决策即可

然而我们需要(Summod 2n=0)

又(frac{(2n+1)2n}{2}=n(2n+1)mod 2n=n)，故如果找到的(Summod 2n=n)，取当前方案的补集即可