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  • 矩阵的特征值和特征向量

    矩阵的特征值和特征向量

    定义

    对于(n)阶方阵(A),若存在非零列向量(x)和数(lambda)满足(Ax=lambda x),则称(lambda)(x)为一组对应的特征值和特征向量

    在确定了特征值之后,可以得到对应(x)的无穷多个解


    求解特征值和特征向量:

    容易发现,(lambda)是一个特征值,只需要满足(Ax=lambda x)有解,以(x)为元容易列出方程,其常数项为均0,系数矩阵为

    (egin{bmatrix}array{lambda-A_{1,1}& -A_{1,2}& -A_{1,3}& cdots & -A_{1,n}\ -A_{2,1}&lambda- A_{2,2} & -A_{2,3}& cdots & -A_{2,n}\ -A_{3,1} & -A_{3,2} & lambda-A_{3,3} & cdots & -A_{3,n}\ vdots& vdots &vdots &vdots &vdots \ -A_{n,1} & -A_{n,2} & -A_{n,3} &cdots & lambda-A_{n,n}}end{bmatrix}=lambda I-A)

    其中(I)是单位矩阵

    这个方程有非零解的充要条件是:(|lambda I-A|=0) (因为如果不为0,则矩阵满秩,所有向量线性无关,无法得到0向量)

    (|lambda I-A|)是一个(n)次多项式(p(lambda)),称为特征多项式,所有的特征值(lambda)就是(p(lambda))的根


    应用

    加速矩阵乘法:

    (Ax=lambda x),迭代该式可以得到(A^nx=lambda^nx)

    特殊矩阵的特征值

    上三角矩阵

    (lambda I-A=egin{bmatrix}array{lambda-A_{1,1}& -A_{1,2}& -A_{1,3}& cdots & -A_{1,n}\ 0 & lambda-A_{2,2} & -A_{2,3}& cdots & -A_{2,n}\ 0 & 0 & lambda-A_{3,3} & cdots &-A_{3,n}\ vdots& vdots &vdots &vdots &vdots \ 0 & 0 & 0 &cdots & lambda-A_{n,n}}end{bmatrix})

    带入行列式即可知道(displaystyle |lambda I-A|=prod (lambda -A_{i,i}))

    也就是说,主对角线上所有的(A_{i,i})都是(|lambda I-A|=0)的根

    特征多项式的应用

    传送门

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/chasedeath/p/15349374.html
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