CDQ分治

　　CDQ分治呢 是一种离线的分治算法 当然是基于“时间"的顺序对操作序列进行分治的。

所以它也叫基于时间的分治算法。

这个算法就只有三步：

1 对于l r 先分而治之 mid solve（l,mid）

2 再算 (mid+1,r)

3 最后就是 (l,mid) 对 (mid+1,r)的贡献了。

当然看似简单却让我有点难以理解 对于CDQ分治应该多理解这种离线想法。

这个问题很显然是一个二维偏序问题。

那么我们首先能够想到的是先维护单个元素单调然后在树状数组中

维护另个元素单调查询答案即可。a，b那么大却一点都不重要，离散就可以了。

CDQ呢 我们可以先按照也是先按照单个元素单调在一个序列之中 然后进行基于另一元素的分治。

然后分而治之 然后完事注意细节在合并的时候 要注意再按照y从小到大的顺序再排。

考虑到 mid+1~r是不可能对l~mid产生贡献的。所以我们可以这样做。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<utility>
#include<set>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
    return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void put(int x)
{
    x<0?putchar('-'),x=-x:0;
    int num=0;char ch[50];
    while(x)ch[++num]=x%10+'0',x/=10;
    num==0?putchar('0'):0;
    while(num)putchar(ch[num--]);
    putchar(10);return;
}
const int MAXN=200002;
int n,m;
struct wy
{
    int x,y;
    int id;
    friend int operator < (const wy &l,const wy &r)
    {
        return l.x==r.x?l.y<r.y:l.x<r.x;
    }
}t[MAXN],tmp[MAXN];//按照横坐标从小到大排序
int ans[MAXN];
void CDQ(int l,int r)
{
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid);
    CDQ(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1;
    for(int k=l;k<=r;k++)
    {
        if(j>r||(i<=mid&&t[i].y<=t[j].y))tmp[k]=t[i],i++;
        else ans[t[j].id]+=i-l,tmp[k]=t[j],j++;
    }
    for(int k=l;k<=r;k++)t[k]=tmp[k];
    return;
}
int main()
{
    //freopen("1.in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)t[i].x=read(),t[i].y=read(),t[i].id=i;
    sort(t+1,t+1+n);
    CDQ(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)put(ans[i]);
    return 0;
}

这个题呢我想，还行吧跟上一个二维偏序差不多。CDQ分治一波吧。

三维偏序有点坑啊，但是呢这依然和我上面想法一样不过在分治的时候

加一维树状数组维护第三种元素的大小关系罢了。我想CDQ这种思想真的很不错呢！

注意坑点 元素有可能为0 所以对于第三种元素整体加1.（还好没有完全相同3种的元素！）

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<utility>
#include<set>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#define xx t[i].x
#define yy t[i].y
#define zz t[i].z
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
    return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline long long read()
{
    long long x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void put(long long x)
{
    x<0?putchar('-'),x=-x:0;
    long long num=0;char ch[50];
    while(x)ch[++num]=x%10+'0',x/=10;
    num==0?putchar('0'):0;
    while(num)putchar(ch[num--]);
    putchar(10);return;
}
const long long MAXN=200002;
long long n,m;
struct wy
{
    long long x,y,z;
    long long id;
}t[MAXN],tmp[MAXN];
long long ans[MAXN],c[MAXN],num[MAXN];
void add(long long x,long long y)
{
    for(;x<=m;x+=x&(-x))c[x]+=y;
}
long long ask(long long x)
{
    long long cnt=0;
    for(;x;x-=x&(-x))cnt+=c[x];
    return cnt;
}
long long cmp(wy x,wy y)
{
    if(x.x==y.x)
    {
        if(x.y==y.y)return x.z<y.z;
        return x.y<y.y;
    }
    return x.x<y.x;
}
void CDQ(long long l,long long r)
{
    if(l==r)return;
    long long mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid);
    CDQ(mid+1,r);
    long long i=l,j=mid+1;
    for(long long k=l;k<=r;k++)
    {
        if(j>r||(i<=mid&&yy<=t[j].y))add(zz,1),tmp[k]=t[i],i++;
        else
        {
            ans[t[j].id]+=ask(t[j].z);
            tmp[k]=t[j];
            j++;
        }
    }
    for(long long k=l;k<=mid;k++)add(t[k].z,-1);
    for(long long k=l;k<=r;k++)t[k]=tmp[k];
    return;
}
int main()
{
    //freopen("1.in","r",stdin);
    n=read();m=read();m++;
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        xx=read();yy=read();zz=read();
        t[i].id=i;
        zz++;
    }
    sort(t+1,t+1+n,cmp);
    //for(long long i=1;i<=n;i++)cout<<xx<<' '<<yy<<' '<<zz<<endl;
    CDQ(1,n);
    //for(long long i=1;i<=n;i++)put(ans[i]);
    for(long long i=1;i<=n;i++)num[ans[i]]++;
    for(long long i=0;i<n;i++)put(num[i]);
    return 0;
}

这道题呢和上一道一样对不对 不过...

范围也刚刚好对不对，关键没有坑点了k>=1坑点在于

可能有几行元素完全相同，这就非常难受了好吧，我想判重吧。

判重的话就非常难受了，至少我wa了一次发现自己是想错了，然后无数的表才过这题真不好写。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<utility>
#include<set>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#define xx s[i].x
#define yy s[i].y
#define zz s[i].z
using namespace std;
char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc()
{
    return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void put(int x)
{
    x<0?putchar('-'),x=-x:0;
    int num=0;char ch[50];
    while(x)ch[++num]=x%10+'0',x/=10;
    num==0?putchar('0'):0;
    while(num)putchar(ch[num--]);
    putchar(10);return;
}
const int MAXN=200002;
int n,m;
struct wy
{
    int x,y,z;
    int id;
    int v;
}t[MAXN],tmp[MAXN],s[MAXN];
int ans[MAXN],c[MAXN],num[MAXN];
int sum[MAXN];
int cnt;
void add(int x,int y)
{
    for(;x<=m;x+=x&(-x))c[x]+=y;
}
int ask(int x)
{
    int cnt=0;
    for(;x;x-=x&(-x))cnt+=c[x];
    return cnt;
}
int cmp(wy x,wy y)
{
    if(x.x==y.x)
    {
        if(x.y==y.y)return x.z<y.z;
        return x.y<y.y;
    }
    return x.x<y.x;
}
void CDQ(int l,int r)
{
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid);
    CDQ(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1;
    for(int k=l;k<=r;k++)
    {
        if(j>r||(i<=mid&&t[i].y<=t[j].y))add(t[i].z,t[i].v),tmp[k]=t[i],i++;
        else
        {
            ans[t[j].id]+=ask(t[j].z);
            tmp[k]=t[j];
            j++;
        }
    }
    for(int k=l;k<=mid;k++)add(t[k].z,-t[k].v);
    for(int k=l;k<=r;k++)t[k]=tmp[k];
    return;
}
int main()
{
    //freopen("1.in","r",stdin);
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        xx=read();yy=read();zz=read();
        s[i].id=i;
    }
    sort(s+1,s+1+n,cmp);
    //for(int i=1;i<=n;i++)cout<<xx<<' '<<yy<<' '<<zz<<endl;
    t[++cnt]=s[1];t[cnt].v=1;sum[t[cnt].id]++;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(s[i].x==s[i-1].x&&s[i].y==s[i-1].y&&s[i-1].z==s[i].z)t[cnt].v++,sum[t[cnt].id]++;
        else t[++cnt]=s[i],t[cnt].v=1,sum[t[cnt].id]++;
    }
    //put(cnt);
    //for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<t[i].x<<' '<<t[i].y<<' '<<t[i].z<<' '<<t[i].v<<endl;
    //for(int i=1;i<=n;i++)cout<<sum[i]<<endl;
    CDQ(1,cnt);
    //for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<t[i].v<<endl;
    //for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<ans[i]<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)num[ans[i]+sum[i]-1]+=sum[i];
    for(int i=0;i<n;i++)put(num[i]);
    return 0;
}

关于偏序问题大部分都可以使用CDQ分治。

下面转载一个博主队偏序问题的理解理解的非常到位呢！

参照一、二维偏序的方法，会发现一位偏序就是直接排序，可以看成通过排序使第一维无效。二维偏序是排序+树状数组，就是先通过排序消除了第一维的影响，再通过树状数组进行统计。那么以此类推，三位偏序应该就是树套树状数组…啊不对，是先通过排序消除第一维的影响，再通过【某种方法】消除第二维的影响，再用树状数组统计。

传说中的【某种方法】就是cdq分治，它是一种通过计算前一半对后一半的影响的降维手段。

具体来说，假设三维分别是x,y,z，先按x排序。分治时每次将前半边、后半边分别按y排序。虽然现在x的顺序被打乱了，但是前半边还是都小于后半边的，所以要是只计算前半边对后半边的偏序关系，是不会受到x的影响的。维护后一半的指针i，前一半的指针j，每次将i后移一位时，若y[j]<=y[i]则不断后移j，并不断将z[j]加入树状数组。然后再查询树状数组中有多少数小于等于z[i]。 最后要清空树状数组。

还有“偏序问题中出现了完全相同的要把它们合并”、“清空树状数组时要减回去否则时间超限”、“前大括号必须放在下面“这些细节在此就不提了。

然后就会发现，一维偏序也可以cdq（虽然大部分人叫它归并排序）、树状数组做，二维偏序也可以cdq做。也就是说，这些降维手段用在第几维都可以。那么会不会有n维偏序，cdq套cdq什么的呢？据说那样复杂度就会在n log^kn，还不如n^2暴力枚举。

其实cdq应该不会只局限于偏序问题，也许会有整体二分之类的的离线方法是参照cdq的算出前一半对后一半的影响这种思想呢？

不过强制在线就GG了。