LINK：牛牛与序列
(牛客div1的E题怎么这么水... 还没D难.
定义一个序列合法 当且仅当存在一个位置i满足 (a_i>a_{i-1},a_j<a_{j-1})且对于所有的位置i,(1 leq a_ileq k)
人话解释：一个合法序列 每个数字都在1~k之间 且有两个相邻数字是递增关系两个相邻数字是递减关系。
发现我们枚举某两个位置递增递减再进行计数会重复 而且很难减掉重复方案。这个不能代表元容斥。
考虑总方案-不合法方案。发现不合法方案就两种不增,不降.
显然不增翻转一下就是不降 考虑求出不增的方案数 考虑从前往后放数字且数字大小递减 每个数字都可以分到一些位置。
容易发现是一个隔板法 所以总方案数为C(n+k-1,k-1).
值得注意的是 最后要加上k 因为所有数字都相同时 同时为不增和不降。
这个组合数可以O(k)计算。可以通过此题。
而题解上给了一个dp 这个dp也很显然f[i][j]表示前i个数字使用的最小数字为j的方案数。
最后答案为(sum_{i=1}^{k}f[n][i]) 更扯得是 需要打标发现是上述的组合数 再接一个数学归纳法证明。
我觉得很麻烦 可能正因为如此 出题人才把这道题放到E吧.
const ll MAXN=100010;
ll n,k,T;
ll ans;
inline ll ksm(ll b,ll p)
{
ll cnt=1;
while(p)
{
if(p&1)cnt=cnt*b%mod;
b=b*b%mod;p=p>>1;
}
return cnt;
}
signed main()
{
freopen("1.in","r",stdin);
get(T);
while(T--)
{
get(n);get(k);
ans=ksm(k,n%(mod-1))+k;
ll cnt=1,ww=1;
fep(n+k-1,n+1,i)cnt=cnt*i%mod,ww=ww*(i-n)%mod;
ww=ksm(ww,mod-2);
putl(((ans-cnt*ww%mod*2%mod)%mod+mod)%mod);
}
return 0;
}