【算法小总结】最大连续子序列和最大连续子矩阵的关系与实现

求最大子矩阵和是DP中的一类题目，今天我们就来讲一下一维（序列）与二维（矩阵）最大和

一.求最大连续子序列和

只需定义sum，扫一遍，sum为负时sum=0，具体见代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std; 
const int N=1000;

int x,sum,n,maxn;

int main()
{
    while(scanf("%d",&n),n)
    {
        sum=0,maxn=-0x3f3f3f3f;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d",&x);
            sum+=x;
            if(sum<0) sum=0;
            maxn=max(maxn,sum);
        }
        printf("%d
",maxn);
    }
}

例：

input

8
1 -3 -5 2 6 -1 4 9

output

20

二.求最大子矩阵和

这时需要将矩阵压缩成一维，然后套用一维的方法来做，首先定义a[i][j],表示第j列前i行数的和，

然后枚举i与j,表示从第i行到第j行的矩阵和最大值，最后在这些最大值中的最大值为所要的答案

举个例子：

1 -1 2
4 9 15
-7 1 10

---

第一次取

1 -1 2，对这一维数组求一次最大连续和，得到2，更新最大值为2

第二次取

1 -1 2
4 9 15，

（对列求和）求和得到

5 8 17，对这一维数组求最大连续和，得到30，更新最大值为30

第三次取

1 -1 2
4 9 15
-7 1 10

求和得到

-2 9 27，对这一维数组求最大连续和，得到36，更新最大值为36

第四次取

4 9 15，对这一维数组求最大连续和，得到28，更新最大值为36

第五次取

4 9 15
-7 1 10

求和得到

-3 10 25，对这一维数组求最大连续和，得到35，更新最大值为36

第六次取

-7 1 10，对这一维数组求最大连续和，得到11，更新最大值为36

---

所以最后得到答案为36，详情见代码

//求最大子矩阵和
//记录列和或者行和 
//将二维转化为一维，按一维的求法求 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,a[150][150],sum,x,sum1[150];//a[i][j]记录了第j列前i行数相加得到的和 
int get_max_sum()//获得最大连续序列和 
{
    int maxsum=0,ret=-0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        maxsum+=sum1[i];
        if(maxsum<0) maxsum=0;
        ret=max(ret,maxsum);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            scanf("%d",&x);
            a[i][j]=a[i-1][j]+x;
        }
        sum=-0x3f3f3f3f;
        for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i;j<=n;++j)
        {
            for(int k=1;k<=n;++k)
            {
                sum1[k]=a[j][k]-a[i-1][k];//求在k列从i~j的和 
            }
            sum=max(sum,get_max_sum());//更新每次求矩阵和的最大值 
        }
        printf("%d
",sum); 
    }
}