1025. 除数博弈

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。
示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。
 

提示：

1 <= N <= 1000

解答1

可以使用闭包把dict变量放到函数里面。这里的思路就是逐级取反。

let dict = {
};

var divisorGame = function(N) {
  if(N == 1) {
    dict[N] = false;
    return false;
  }
  for(let i=1; i<N; ++i) {
    if(N % i != 0) continue;
    dict[N] = (N-i) in dict ? !dict[N-i] : !divisorGame(N-i);
    if(dict[N]) {
      return true;
    }
  }
  return false;
};

解答2

求出(N-1)的所有解，然后递推出N的解

var divisorGame = function (N) {
  let result = [];
  result[1] = false;
  for(let i=2; i<=N; ++i) {
    for(let j=1; j<i; ++j) {
      if(i % j != 0) continue;
      if(!result[i-j]) {
        result[i] = true;
        break;
      } else {
        result[i] = false;
      }
    }
  }
  return result[N];
}

解答3(来自leetcode官方解答)

数字N如果是奇数，它的约数必然都是奇数；若为偶数，则其约数可奇可偶。
无论N初始为多大的值，游戏最终只会进行到N=2时结束，那么谁轮到N=2时谁就会赢。
因为爱丽丝先手，N初始若为偶数，爱丽丝则只需一直选1，使鲍勃一直面临N为奇数的情况，这样爱丽丝稳赢；
N初始若为奇数，那么爱丽丝第一次选完之后N必为偶数，那么鲍勃只需一直选1就会稳赢。

var divisorGame = function (N) {
  return N % 2 == 0;
}