蓄水池抽样（Reservoir Sampling ）

转自：http://www.cnblogs.com/hrlnw/archive/2012/11/27/2777337.html

蓄水池抽样（Reservoir Sampling ）是一个很有趣的问题，它能够在o（n）时间内对n个数据进行等概率随机抽取，例如：从1000个数据中等概率随机抽取出100个。另外，如果数据集合的量特别大或者还在增长（相当于未知数据集合总量），该算法依然可以等概率抽样。

说蓄水池抽样之前，先说一下等概率随机抽取问题，等概率随机抽取是一个很有用的东西，因为在很多情况下，尤其是搞模式识别时，需要这个东西。比如，我们想从10000个样本中随机抽取5000个作为训练集，5000个作为测试集，那么等概率随机抽取便派上用场了。那么，究竟该如何做等概率随机抽取呢？一般的想法应该是，随机生成一个（0，n-1）之间的数x，然后抽取集合中第x个数据，如果本次生成的数x‘与之前某次生成的数x是相同的，那么继续随机生成，直到生成一个与之前所有生成过的数不同的数。并将这样的随机生成做m次。

这样做思路上是最简单的，但是问题却出现了，如果m比较小还好，比如n=10000，m=100，就是说10000个数里面随机挑100个，基本上没什么重合的概率，因为当做第100次随机生成时，之前才生成了99个，所以至多有99/10000≈1%的概率生成与之前重复的数。那么，我们可以很顺利的随机的、等概率的生成100个数，并且基本上只调用100次rand函数就行。但是如果m比较大呢？还是刚才那个例子，如果n=10000，m=5000呢？这涉及到一个求期望的问题，设sum为该算法调用rand函数的次数，我们来求一下E（sum）,由于每次随机生成的数都是独立的，因此E（sum）=E(num1)+E(num2)+...E(numm),所以我们求出生成第x个数需要调用多少次rand函数即可。

假设前面已经生成了x个数，我们要生成第x+1个数，那么，有如下概率：

调用1次rand函数就成功生成该数的概率为：（1-x/n）

调用2次rand函数就成功生成该数的概率为：（1-x/n）*（x/n）

。。。

调用k次rand函数就成功生成该数的概率为：（1-x/n）*（x/n）^(k-1)

则E（numx）=1*（1-x/n）+2*（1-x/n）*（x/n）+...+k*（1-x/n）*（x/n）^(k-1)...

这个计算并不难，在此我仅给出我计算出的期望：n/(n-x)（默认x从0开始，程序员的习惯）

最后，E（sum）=n/n+n/(n-1)+n/(n-2)+....+n/(n-m+1)

这个期望就比较难算了，复杂度大概是O（n*（lg(n）-lg(n-m)））级别的。在n比较大，m也比较大的时候，这个规模比O（n）可大多了。因此，蓄水池抽样在这个时候就有优势了，而且，对于另一种比较变态的情况，假设n非常大，以至于我们并不知道n的确切数量，而且n还在动态的增长，我们要不停的随机等概率的抽取n的一定比例（例如10%），这种情况下，上面所介绍的普通抽样方法就很难做到了。

 

蓄水池抽样：从N个元素中随机的等概率的抽取k个元素，其中N无法确定

先给出代码：

?

Init : a reservoir with the size： k 

        for    i= k+1 to N 

            M=random(1, i); 

            if( M < k) 

                 SWAP the Mth value and ith value 

       end for 

　　

上述伪代码的意思是：先选中第1到k个元素，作为被选中的元素。然后依次对第k+1至第N个元素做如下操作：

每个元素都有k/x的概率被选中，然后等概率的（1/k）替换掉被选中的元素。其中x是元素的序号。

算法的成立是用数学归纳法证明的：

每次都是以 k/i 的概率来选择 
例: k=1000的话， 从1001开始作选择，1001被选中的概率是1000/1001，1002被选中的概率是1000/1002，与我们直觉是相符的。 

接下来证明： 
假设当前是i+1, 按照我们的规定，i+1这个元素被选中的概率是k/i+1，也即第 i+1 这个元素在蓄水池中出现的概率是k/i+1 
此时考虑前i个元素，如果前i个元素出现在蓄水池中的概率都是k/i+1的话，说明我们的算法是没有问题的。 

对这个问题可以用归纳法来证明：k < i <=N 
1.当i=k+1的时候，蓄水池的容量为k，第k+1个元素被选择的概率明显为k/(k+1), 此时前k个元素出现在蓄水池的概率为 k/(k+1), 很明显结论成立。 
2.假设当 j=i 的时候结论成立，此时以 k/i 的概率来选择第i个元素，前i-1个元素出现在蓄水池的概率都为k/i。 
证明当j=i+1的情况： 
即需要证明当以 k/i+1 的概率来选择第i+1个元素的时候，此时任一前i个元素出现在蓄水池的概率都为k/(i+1). 
前i个元素出现在蓄水池的概率有2部分组成, ①在第i+1次选择前得出现在蓄水池中，②得保证第i+1次选择的时候不被替换掉 
①.由2知道在第i+1次选择前，任一前i个元素出现在蓄水池的概率都为k/i 
②.考虑被替换的概率： 
首先要被替换得第 i+1 个元素被选中(不然不用替换了)概率为 k/i+1，其次是因为随机替换的池子中k个元素中任意一个，所以不幸被替换的概率是 1/k，故 
前i个元素(池中元素)中任一被替换的概率 = k/(i+1) * 1/k = 1/i+1 
则(池中元素中)没有被替换的概率为: 1 - 1/(i+1) = i/i+1 
综合① ②,通过乘法规则 
得到前i个元素出现在蓄水池的概率为 k/i * i/(i+1) = k/i+1 
故证明成立