背包问题

 

题目

有N件物品和一个容量为W的背包。第Ni件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

 

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[Ni][Wi]表示前Ni件物品恰放入一个容量为Wi的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[Ni][Wi]=max{f[Ni-1][Wi],f[Ni-1][Wi-w[i]]+v[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前Ni件物品放入容量为W的背包中”这个子问题，若只考虑第Ni件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前Ni-1件物品的问题。如果不放第Ni件物品，那么问题就转化为“前Ni-1件物品放入容量为Wi的背包中”，价值为f[Ni-1][Wi]；如果放第Ni件物品，那么问题就转化为“前Ni-1件物品放入剩下的容量为W-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[Ni-1][W-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

例：背包容量W=10 物品数量N=4  对应的重量  w=[5,4,6,3]   价值 v=[10,40,30,50]  求最大价值

 两个循环：

　　　　for Ni=0~N                                                                        

　　　　　　for Wi=0~W

　　　　　　　　f[Ni][Wi]=max{f[Ni-1][Wi],f[Ni-1][Wi-w[i]]+v[i]}     

 

for Ni=0~N              在第Ni个外循环下，计算前Ni个物品，放在背包容量为Wi（Wi=0~W  每个外循环下 处理W个子背包问题）下的最大值

for Wi=0~W            对容量为Wi（0~W）的每个背包，第Ni个物品可放可不放，所获得的最大价值为 放或者不放两种情况下的最大值

f[Ni][Wi]=max{f[Ni-1][Wi],f[Ni-1][Wi-w[i]]+v[i]} 

　　　　　　　

 f[N][W] 为问题的解，前N个物品 放在容量为W的背包中 能取得的最大价值

 

参考自：http://love-oriented.com/pack/P01.html