bzoj2154(莫比乌斯反演)

又是一道经典题.

1.学习了下O(n) 的做法。

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//  main.cpp
//  bzoj2154
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//

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;

#define N 10001000
#define MOD 20101009

//－－莫比乌斯反演函数－－//
//说明：利用线性素数筛选顺便求了个mu
//注释部分为求从区间[1,b]和区间[1,d]中取两个数，互质对数O（n^0.5）
//复杂度:O(n)
int mu[N];
long long sum[N];
int prime[N];
bool mark[N];

void mobus()
{
    int pcnt=0;
    memset(mark,0,sizeof(mark));
    mu[1] = 1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(mark[i] == 0)
        {
            prime[pcnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0;j<pcnt && i*prime[j]<N;j++)
        {
            int tmp = i*prime[j];
            mark[tmp] = 1;
            if( i%prime[j] == 0 )
            {
                mu[tmp] = 0;
                break;
            }
            
            mu[tmp] = mu[i]*-1;
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        sum[i] += sum[i-1]+(long long)mu[i]*i*i;
        sum[i] %= MOD;
    }
}



long long gaobili(long long b,long long d)
{
    if(b<=0||d<=0) return 0;
    long long m = min(b,d);
    long long ans = 0;
    while(m>=1)
    {
        long long tb = b/( b/m +1 )+1;
        long long td = d/( d/m +1 )+1;
        //前进的最大位置
        long long tm = max(tb,td);
        ans += (sum[m]-sum[tm-1])*(((b/m+1)*(b/m)/2)%MOD)%MOD*(((d/m+1)*(d/m)/2)%MOD)%MOD ;
        ans %= MOD;
        m = tm-1;
    }
    return ans;
}
//等差数列求和模板，[a1,a1+d,...,an]
long long allsum(long long a1,long long an,long long n)
{
    if(n%2==0)
        return (a1+an)*(n/2);
    else return ((a1+an)/2)*n;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    mobus();
    int b,d;
    while(scanf("%d%d",&b,&d)!=EOF)
    {
        int m = min(b,d);
        long long ans = 0;
        while(m>=1)
        {
            int tb = b/( b/m +1 )+1;
            int td = d/( d/m +1 )+1;
            //前进的最大位置
            int tm = max(tb,td);
            ans += allsum(tm,m,m-tm+1)%MOD*gaobili(b/m, d/m)%MOD;
            ans %= MOD;
            m = tm-1;
        }
        cout<<(ans+MOD)%MOD<<endl;
    }
    return 0;
}
/*
 4 5
 
 */

2.O(n)预处理，每次查询n^0.5

因为bzoj2693题目找不到了，所以直接用了这题来测试。

这题首先是一个经典的公式变形。 交换连加时变量的位置。

而根据第二个重要的性质，乘性函数的乘除之后还是乘性函数。（加减并不是）

所以后面的连加部分也是乘性函数，这时只需要的单独看只含一个因子的时候，因为里面含有u(i),所以对于D=x^k(x是素因子)只有当i = 1 或 x 时不为0，所以

后面的为x^k(1-x)。这时可以在线性筛选时顺便求出来。

**************************************************************
    Problem: 2154
    User: chenhuan001
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:16668 ms
    Memory:93088 kb
****************************************************************/
 
  
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
//－－莫比乌斯反演函数－－//
//说明：利用线性素数筛选顺便求了个mu
//注释部分为求从区间[1,b]和区间[1,d]中取两个数，互质对数O（n^0.5）
//复杂度:O(n)
#define N 10000010
bool mark[N];
int prime[N/10];
     
long long sum[N];
  
#define MOD 20101009
  
void mobus()
{
    int pcnt=0;
     
    sum[1] = 1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(mark[i] == 0)
        {
            prime[pcnt++] = i;
             
            sum[i] = (long long)i*(1-i)%MOD;
        }
        for(int j=0;j<pcnt && i*prime[j]<N;j++)
        {
            int tmp = i*prime[j];
            mark[tmp] = 1;
            if( i%prime[j] == 0 )
            {
                sum[tmp] = sum[i]*prime[j];
                sum[tmp] %= MOD;
            
                break;
            }
            else
            {
                sum[tmp] = sum[i]*(sum[prime[j]])%MOD;
            }
              
            
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)
        sum[i] = (sum[i]+sum[i-1])%MOD;
}
  
long long gaobili(int b,int d)
{
    if(b<=0||d<=0) return 0;
    long long m = min(b,d);
    long long ans = 0;
    while(m>=1)
    {
        long long tb = b/( b/m +1 )+1;
        long long td = d/( d/m +1 )+1;
        //前进的最大位置
        long long tm = max(tb,td);
        ans += (sum[m]-sum[tm-1])*(((b/m+1)*(b/m)/2)%MOD)%MOD*(((d/m+1)*(d/m)/2)%MOD)%MOD;
        ans %= MOD;
        m = tm-1;
    }
    return (ans+MOD)%MOD;
}    
  
int main()
{
    mobus();
    int b,d;
    while(scanf("%d%d",&b,&d)!=EOF)
    {
        printf("%d
",(int)gaobili(b,d));
    }
    return 0;
}

至此mobus大概都刷了一遍，原以为很复杂的东西，其实也不是很难。以后面对的题目可能有更多的公式变形，或许难在找出莫比乌斯模型。但基本的也就是这些方法了。

治好了多年的公式恐惧症。。