Hard | LeetCode 295 | 剑指 Offer 41. 数据流中的中位数 | 优先队列(堆排序)
如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。
例如，
[2,3,4] 的中位数是 3
[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5
设计一个支持以下两种操作的数据结构：
- void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。
- double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。
示例 1：
输入：
["MedianFinder","addNum","addNum","findMedian","addNum","findMedian"]
[[],[1],[2],[],[3],[]]
输出：[null,null,null,1.50000,null,2.00000]
示例 2：
输入：
["MedianFinder","addNum","findMedian","addNum","findMedian"]
[[],[2],[],[3],[]]
输出：[null,null,2.00000,null,2.50000]
限制：
- 最多会对
addNum、findMedian进行50000次调用。
方法一 : 优先队列
又是一道非常巧妙的Hard题。它的思路是把数据元素平均分成两部分存储, 左半部分使用大顶堆存储, 右半部分使用小顶堆存储, 并且大顶堆的所有元素, 小于小顶堆的所有元素, 这样整个的中位数就可以通过两个堆的堆顶元素获得了。
那么问题来了, 在添加元素的过程, 如何保证两个堆的元素的数量相等呢？
一个很朴素的想法： 添加元素时, 轮流向大顶堆和小顶堆添加元素, 这样两个堆的数量相差值不会超过1。
那么问题又来了, 假如我现在要添加一个元素到大顶推, 如果要添加到大顶堆的元素比小顶堆的一些元素大怎么办, 我直接插进去不就不能保证大顶堆元素小于小顶堆了？
这个解决办法非常巧妙： 首先把当前的元素先插到小顶堆, 然后把小顶堆的堆顶元素插入到大顶堆。就完美解决上述问题了。因为（1） 加入当前元素比某些小顶堆元素大, 那么这个值是比大顶堆所有元素都要大的。所以不会破坏堆之间数值大小的条件, 然后将小顶堆堆顶元素(这个元素大于大顶堆所有值, 小于小顶堆其他所有值), 所以将其直接插入到大顶堆当中, 这个元素就成为大顶堆的最大元素。(2) 假如当前的元素, 小于所有小顶堆元素, 并且比某些大顶堆元素还要小, 先将其插入到小顶堆当中, 这个元素成为小顶堆的堆顶元素, 然后将此最小的堆顶元素, 再插入到大顶堆当中, 相当于直接插入到大顶堆当中, 效果是一样的。
如果要插入到小顶堆当中, 也是同样的道理： 先插入到大顶堆, 然后将大顶堆最大元素插入到小顶堆。
// 最大堆 用于存储左半边数据
private Queue<Integer> maxHeap;
// 最小堆 用于存储右半边数据
private Queue<Integer> minHeap;
// 标记总大小, 用于判断当前元素是要插入到大顶堆当中还是小顶堆当中
private int size;
/** initialize your data structure here. */
public MedianFinder() {
maxHeap = new PriorityQueue<>((x, y) -> (y - x));
minHeap = new PriorityQueue<>();
}
public void addNum(int num) {
if ((size & 0x1) == 0) {
// 总数为偶数, 需要往最大堆插数据
minHeap.add(num);
maxHeap.add(minHeap.poll());
} else {
// 总数为奇数 需要往最小堆插数据
maxHeap.add(num);
minHeap.add(maxHeap.poll());
}
size++;
}
public double findMedian() {
if ((size & 0x1) == 1) {
// 总数为奇数时, 中位数为最大堆堆顶
return maxHeap.peek();
} else {
// 总数为偶数时, 中位数为两个堆的堆顶元素的平均值
return (maxHeap.peek() + minHeap.peek()) * 1.0 / 2;
}
}